Calcolo Esempi

$7 \cos (2 x) + 7 x$

Passaggio 1

Scrivi $7 \cos (2 x) + 7 x$ come funzione.

$f (x) = 7 \cos (2 x) + 7 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 \cos (2 x) + 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$7 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$7 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$7 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$7 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$- 14 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 14 \sin (2 x) + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 14 \sin (2 x) + 7 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$- 14 \sin (2 x) + 7$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$7 - 14 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - 14 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 14 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7) + \frac{d}{d x} (- 14 \sin (2 x))$

Passaggio 3.1.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 14 \sin (2 x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 14 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 14 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 14 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 3.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 3.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 3.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $2$ per $- 14$ .

$f'' (x) = 0 - 28 \cos (2 x)$

Passaggio 3.3

Sottrai $28 \cos (2 x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 28 \cos (2 x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$7 - 14 \sin (2 x) = 0$

Passaggio 5

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 14 \sin (2 x) = - 7$

Passaggio 6

Dividi per $- 14$ ciascun termine in $- 14 \sin (2 x) = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $- 14$ ciascun termine in $- 14 \sin (2 x) = - 7$ .

$\frac{- 14 \sin (2 x)}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $- 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 14 \sin (2 x)}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 7}{- 14}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ e $- 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Scomponi $- 7$ da $- 7$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 7 (1)}{- 14}$

Passaggio 6.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Scomponi $- 7$ da $- 14$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (2 x) = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Passaggio 9

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 11.1.2

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 11.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 11.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.4.1

Riordina $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 11.1.4.2

Sottrai $π$ da $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Passaggio 11.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 11.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 12

La soluzione dell'equazione $2 x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{12}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 28 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$- 28 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Passaggio 14.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 28 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Passaggio 14.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 28 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 14.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 28 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Scomponi $2$ da $- 28$ .

$2 (- 14) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 14 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 14 \sqrt{3}$

Passaggio 15

$x = \frac{π}{12}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{12}$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{12}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{π}{12})) + 7 (\frac{π}{12})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{π}{2 (6)})) + 7 (\frac{π}{12})$

Passaggio 16.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6})) + 7 (\frac{π}{12})$

Passaggio 16.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{12}) = 7 \cos (\frac{π}{6}) + 7 (\frac{π}{12})$

Passaggio 16.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 (\frac{π}{12})$

Passaggio 16.2.1.3

$7$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{7 \sqrt{3}}{2} + 7 (\frac{π}{12})$

Passaggio 16.2.1.4

$7$ e $\frac{π}{12}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 π}{12}$

Passaggio 16.2.2

La risposta finale è $\frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 π}{12}$ .

$y = \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 π}{12}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{12}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 28 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$- 28 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

Passaggio 18.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 28 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

Passaggio 18.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 28 \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 18.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 28 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 18.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 28 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 18.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- 28 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.4.2

Scomponi $2$ da $- 28$ .

$2 (- 14) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 14 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.4.4

Riscrivi l'espressione.

$- 14 (- \sqrt{3})$

Passaggio 18.5

Moltiplica $- 1$ per $- 14$ .

$14 \sqrt{3}$

Passaggio 19

$x = \frac{5 π}{12}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{12}$ è un minimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{12}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{5 π}{12})) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)})) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 20.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6})) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 20.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 \cos (\frac{5 π}{6}) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 20.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 (- \cos (\frac{π}{6})) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 20.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 20.2.1.4

Moltiplica $7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 7 \frac{\sqrt{3}}{2} + 7 (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 20.2.1.4.2

$- 7$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{2} + 7 (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 20.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + 7 (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 20.2.1.6

Moltiplica $7 (\frac{5 π}{12})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.6.1

$7$ e $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 (5 π)}{12}$

Passaggio 20.2.1.6.2

Moltiplica $5$ per $7$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{35 π}{12}$

Passaggio 20.2.2

La risposta finale è $- \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{35 π}{12}$ .

$y = - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{35 π}{12}$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 7 \cos (2 x) + 7 x$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 π}{12})$ è un massimo locale

$(\frac{5 π}{12}, - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{35 π}{12})$ è un minimo locale

Passaggio 22