Calcolo Esempi

$8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$

Passaggio 1

Scrivi $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ come funzione.

$f (x) = 8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{128}{x}$ rispetto a $x$ è $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$16 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $128$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

$- 128$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.5.2.3

Somma $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ e $0$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{128}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 16 - 128 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 3.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Passaggio 3.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 3.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 128$ .

$f'' (x) = 16 + 256 x^{- 3}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 16 + 256 (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 3.4.2

$256$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{256}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 16$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{128}{x}$ rispetto a $x$ è $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$16 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $128$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + 0$

Passaggio 5.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 5.1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.2.1

$- 128$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Passaggio 5.1.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Passaggio 5.1.5.2.3

Somma $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = 16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{2}, 1$

Passaggio 6.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ per $x^{2}$ .

$16 x \cdot x^{2} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$16 (x^{2} x) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$16 (x^{2} x^{1}) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 x^{2 + 1} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$16 x^{3} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{128}{x^{2}}$ nel numeratore.

$16 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$16 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$16 x^{3} - 128 = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$16 x^{3} - 128 = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Somma $128$ a entrambi i lati dell'equazione.

$16 x^{3} = 128$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $128$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 x^{3} - 128 = 0$

Passaggio 6.4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Scomponi $16$ da $16 x^{3} - 128$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1

Scomponi $16$ da $16 x^{3}$ .

$16 (x^{3}) - 128 = 0$

Passaggio 6.4.3.1.2

Scomponi $16$ da $- 128$ .

$16 x^{3} + 16 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 6.4.3.1.3

Scomponi $16$ da $16 x^{3} + 16 \cdot - 8$ .

$16 (x^{3} - 8) = 0$

Passaggio 6.4.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$16 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Passaggio 6.4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Passaggio 6.4.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Passaggio 6.4.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$16 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Passaggio 6.4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Passaggio 6.4.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.4.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.4.6

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.1

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Passaggio 6.4.6.2

Risolvi $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.4.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.4.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 6.4.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.4.6.2.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 6.4.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Passaggio 6.4.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.6.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.4.6.2.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 6.4.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 6.4.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 6.4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $16 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{128}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{256}{{(2)}^{3}} + 16$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{256}{8} + 16$

Passaggio 10.1.2

Dividi $256$ per $8$ .

$32 + 16$

Passaggio 10.2

Somma $32$ e $16$ .

$48$

Passaggio 11

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 8 {(2)}^{2} + \frac{128}{2} - 6$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 8 \cdot 4 + \frac{128}{2} - 6$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f (2) = 32 + \frac{128}{2} - 6$

Passaggio 12.2.1.3

Dividi $128$ per $2$ .

$f (2) = 32 + 64 - 6$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Somma $32$ e $64$ .

$f (2) = 96 - 6$

Passaggio 12.2.2.2

Sottrai $6$ da $96$ .

$f (2) = 90$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $90$ .

$y = 90$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ .

$(2, 90)$ è un minimo locale

Passaggio 14