Calcolo Esempi

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$ come funzione.

$f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$7 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.7

$7$ e $\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4.1.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (- 8 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4.1.4

Moltiplica $- 8$ per $7$ .

$\frac{14 x^{3} - 56 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$\frac{14 x^{3} - 56 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4.2

Combina i termini opposti in $14 x^{3} - 56 x - 14 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.2.1

Sottrai $14 x^{3}$ da $14 x^{3}$ .

$\frac{- 56 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4.2.2

Somma $- 56 x$ e $0$ .

$\frac{- 56 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{56 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{56 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$- \frac{56 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Passaggio 2.8.6.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 56$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 56 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica ${(x + 2)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 2)}^{2} (x - 2)) \frac{d}{d x} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + 0) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) \cdot 1 + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 \cdot ({(x - 2)}^{2} (x + 2)) \frac{d}{d x} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8.5.3

$- 56$ e $\frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Applica la regola del prodotto a ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)) - x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) + 56 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.1

Scomponi $56 (x + 2) (x - 2)$ da $56 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 56 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.1.1

Scomponi $56 (x + 2) (x - 2)$ da $56 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 56 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.1.2

Scomponi $56 (x + 2) (x - 2)$ da $56 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.1.3

Scomponi $56 (x + 2) (x - 2)$ da $56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.1.4

Scomponi $56 (x + 2) (x - 2)$ da $56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.1.5

Scomponi $56 (x + 2) (x - 2)$ da $56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2)) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.3.1

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x (x - 2) + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.3.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.2.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.3.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.3.8.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.3.9

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.4

Combina i termini opposti in $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.4.1

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.4.2

Somma $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 4 - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.4.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.5.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.9.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 3.9.5.3

Elimina il fattore comune di $x + 2$ e ${(x + 2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.5.3.1

Scomponi $x + 2$ da $56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((56 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 3.9.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.5.3.2.1

Scomponi $x + 2$ da ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((56 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Passaggio 3.9.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((56 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Passaggio 3.9.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(56 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 3.9.5.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ e ${(x - 2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.5.4.1

Scomponi $x - 2$ da $56 (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (56 (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 3.9.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.5.4.2.1

Scomponi $x - 2$ da ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (56 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Passaggio 3.9.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (56 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Passaggio 3.9.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{56 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 3.9.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (- (3 x^{2}) - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 3.9.7

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 3.9.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (- (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 3.9.9

Riscrivi $- (3 x^{2} + 4)$ come $- 1 (3 x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (- 1 (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 3.9.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{56 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 3.9.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{56 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Passaggio 3.9.12

Moltiplica $\frac{56 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{56 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}]$

Passaggio 5.1.2

$7 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6

Somma $1$ e $2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.7

$7$ e $\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4.1.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (- 8 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4.1.4

Moltiplica $- 8$ per $7$ .

$\frac{14 x^{3} - 56 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$\frac{14 x^{3} - 56 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4.2

Combina i termini opposti in $14 x^{3} - 56 x - 14 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.4.2.1

Sottrai $14 x^{3}$ da $14 x^{3}$ .

$\frac{- 56 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.4.2.2

Somma $- 56 x$ e $0$ .

$\frac{- 56 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{56 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{56 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$- \frac{56 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Passaggio 5.1.8.6.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$56 x = 0$

Passaggio 6.3

Dividi per $56$ ciascun termine in $56 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $56$ ciascun termine in $56 x = 0$ .

$\frac{56 x}{56} = \frac{0}{56}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $56$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{56 x}{56} = \frac{0}{56}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{56}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi $0$ per $56$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.2

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.2.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 7.2.2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 7.2.3

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2.3.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 7.2.3.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 7.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 7.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{56 (3 {(0)}^{2} + 4)}{{((0) + 2)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{56 (3 \cdot 0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{56 (0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riscrivi $0$ come $- 1 (0)$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 10.2.4

Applica la regola del prodotto a $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 10.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{56 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 10.2.6

Moltiplica ${(0 - 2)}^{3}$ per ${(0 - 2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.6.1

Sposta ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{56 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Passaggio 10.2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{56 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3}}$

Passaggio 10.2.6.3

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{56 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $56$ per $4$ .

$\frac{224}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{224}{- 1 {(- 2)}^{6}}$

Passaggio 10.4.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $6$ .

$\frac{224}{- 1 \cdot 64}$

Passaggio 10.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$\frac{224}{- 64}$

Passaggio 10.5.2

Elimina il fattore comune di $224$ e $- 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Scomponi $32$ da $224$ .

$\frac{32 (7)}{- 64}$

Passaggio 10.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Scomponi $32$ da $- 64$ .

$\frac{32 \cdot 7}{32 \cdot - 2}$

Passaggio 10.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{32 \cdot 7}{32 \cdot - 2}$

Passaggio 10.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{- 2}$

Passaggio 10.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7}{2}$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{7 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 4}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 0}{0^{2} - 4}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 0}{0 - 4}$

Passaggio 12.2.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 0}{- 4}$

Passaggio 12.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 12.2.3.2

Dividi $0$ per $- 4$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$ .

$(0, 0)$ è un massimo locale

Passaggio 14