Calcolo Esempi

$\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ come funzione.

$f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune di $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $2$ da $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Passaggio 2.1.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Passaggio 2.1.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Passaggio 2.1.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Passaggio 2.1.1.4.4

Dividi $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- e^{- x})$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + 2 e^{- x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Passaggio 5.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Passaggio 5.1.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Passaggio 5.1.1.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Passaggio 5.1.1.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Passaggio 5.1.1.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Passaggio 5.1.1.1.4.4

Dividi $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Passaggio 5.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Passaggio 5.1.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 5.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 5.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Passaggio 5.1.5.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Passaggio 6.2

Sposta $- 2 e^{- x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$2 e^{x} = 2 e^{- x}$

Passaggio 6.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2 e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Passaggio 6.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Riscrivi $\ln (2 e^{x})$ come $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Passaggio 6.4.2

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (2) + x \ln (e) = \ln (2 e^{- x})$

Passaggio 6.4.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (2) + x \cdot 1 = \ln (2 e^{- x})$

Passaggio 6.4.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2 e^{- x})$

Passaggio 6.5

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi $\ln (2 e^{- x})$ come $\ln (2) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) + \ln (e^{- x})$

Passaggio 6.5.2

Espandi $\ln (e^{- x})$ spostando $- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \ln (e)$

Passaggio 6.5.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \cdot 1$

Passaggio 6.5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x$

Passaggio 6.6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (2) - \ln (2) = - x - x$

Passaggio 6.7

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{2}) = - x - x$

Passaggio 6.8

Dividi $2$ per $2$ .

$\ln (1) = - x - x$

Passaggio 6.9

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0 = - x - x$

Passaggio 6.10

Sottrai $x$ da $- x$ .

$0 = - 2 x$

Passaggio 6.11

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 2 x = 0$

Passaggio 6.12

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 0$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 6.12.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 6.12.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 6.12.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.3.1

Dividi $0$ per $- 2$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 + 2 e^{0}$

Passaggio 10.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2$

Passaggio 10.2

Somma $2$ e $2$ .

$4$

Passaggio 11

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{4 e^{0} + 4 e^{- (0)}}{2}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elimina il fattore comune di $4 e^{0} + 4 e^{- (0)}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Scomponi $2$ da $4 e^{0}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 4 e^{- (0)}}{2}$

Passaggio 12.2.1.2

Scomponi $2$ da $4 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})}{2}$

Passaggio 12.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2}$

Passaggio 12.2.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 (1)}$

Passaggio 12.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = \frac{2 e^{0} + 2 e^{- (0)}}{1}$

Passaggio 12.2.1.4.4

Dividi $2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$ per $1$ .

$f (0) = 2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Passaggio 12.2.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{- (0)}$

Passaggio 12.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{0}$

Passaggio 12.2.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Passaggio 12.2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Passaggio 12.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$f (0) = 4$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 4)$ è un minimo locale

Passaggio 14