Calcolo Esempi

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ come funzione.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 6 x - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $12 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 5.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 6 x - 12$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} - 6 x - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 6 x - 12 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $6$ da $- 6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) - 12 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $6$ da $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) + 6 (- 2) = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 (x^{2}) + 6 (- x)$ .

$6 (x^{2} - x) + 6 (- 2) = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} - x) + 6 (- 2)$ .

$6 (x^{2} - x - 2) = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 6.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$6 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 2) (x + 1) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 2) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 2, - 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 2, - 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (2) - 6$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $12$ per $2$ .

$24 - 6$

Passaggio 10.2

Sottrai $6$ da $24$ .

$18$

Passaggio 11

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Passaggio 12.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Passaggio 12.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Passaggio 12.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2$

Passaggio 12.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (2) = 16 - 12 - 12 \cdot 2$

Passaggio 12.2.1.5

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$f (2) = 16 - 12 - 24$

Passaggio 12.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Sottrai $12$ da $16$ .

$f (2) = 4 - 24$

Passaggio 12.2.2.2

Sottrai $24$ da $4$ .

$f (2) = - 20$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 20$ .

$y = - 20$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (- 1) - 6$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$- 12 - 6$

Passaggio 14.2

Sottrai $6$ da $- 12$ .

$- 18$

Passaggio 15

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = 2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 - 3 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 3 \cdot 1 - 12 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 3 - 12 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.1.5

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 - 3 + 12$

Passaggio 16.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f (- 1) = - 5 + 12$

Passaggio 16.2.2.2

Somma $- 5$ e $12$ .

$f (- 1) = 7$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $7$ .

$y = 7$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ .

$(2, - 20)$ è un minimo locale

$(- 1, 7)$ è un massimo locale

Passaggio 18