Calcolo Esempi

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

Passaggio 1

Scrivi $f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ come funzione.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

Passaggio 2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

Passaggio 2.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

Passaggio 2.3

Somma $16 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

Passaggio 3

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $f (x, y) - x y - y + 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 3.2

Moltiplica $f$ per ogni elemento della matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 3.4

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Passaggio 3.6.2

Riordina i termini.

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Passaggio 4

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per ogni elemento della matrice.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Scomponi $x$ da $f x$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x} (f y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

$f$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.2.3.2.2

$\frac{f}{x}$ e $y$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 4.3

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Passaggio 4.4.2

Somma $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Passaggio 5

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Passaggio 6

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $f (x, y) - x y - y + 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $f$ per ogni elemento della matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Passaggio 6.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Passaggio 6.1.5.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Passaggio 6.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.1

Somma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Passaggio 6.1.6.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Passaggio 6.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

Passaggio 7

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Passaggio 7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per ogni elemento della matrice.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Passaggio 7.2.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Scomponi $x$ da $f x$ .

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Passaggio 7.2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Passaggio 7.2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x} (f y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

$f$ e $\frac{1}{x}$ .

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

Passaggio 7.2.3.2.2

$\frac{f}{x}$ e $y$ .

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

Passaggio 7.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

Passaggio 8

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{d}{d x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$d x = 0$

Passaggio 8.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $d x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $d x = 0$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $d$ per $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividi $0$ per $x$ .

$d = 0$

Passaggio 8.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$y = 0$

Passaggio 9

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $d$ per $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Passaggio 11.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 12

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 13