Calcolo Esempi

$y = (x - 1) (x^{2} + 3 x - 5)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} + 3 x - 5$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 5] + (x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(x - 1) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) (2 x + 3 + 0) + (x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.7

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$(x - 1) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x - 5) (1 + 0)$

Passaggio 1.2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 1) (2 x + 3) + (x^{2} + 3 x - 5) \cdot 1$

Passaggio 1.2.11.2

Moltiplica $x^{2} + 3 x - 5$ per $1$ .

$(x - 1) (2 x + 3) + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 3 - 1 \cdot 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 3 - 1 \cdot 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 3 - 1 \cdot 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 3 - 1 \cdot 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 3 - 1 \cdot 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot 3 - 1 \cdot 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} - 2 x + 3 \cdot x - 1 \cdot 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4.7

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4.8

Somma $- 2 x$ e $3 x$ .

$2 x^{2} + x - 3 + x^{2} + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4.9

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} + x - 3 + 3 x - 5$

Passaggio 1.3.4.10

Somma $x$ e $3 x$ .

$3 x^{2} + 4 x - 3 - 5$

Passaggio 1.3.4.11

Sottrai $5$ da $- 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 8$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 4 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x + 4 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $6 x + 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $6$ e $0$ .

$f''' (x) = 6$

Passaggio 4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = 0$