Calcolo Esempi

$y = 4 x^{3} \sqrt{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{3})]$

Passaggio 1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3}]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}]$

Passaggio 1.2.4

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}}]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 6}{2}}]$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $1$ e $6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 1.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{7}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Passaggio 1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.9

$\frac{7}{2}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Passaggio 1.10

$4$ e $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Passaggio 1.11

Moltiplica $7$ per $4$ .

$\frac{28 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Passaggio 1.12

Scomponi $2$ da $28 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Passaggio 1.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.13.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Passaggio 1.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14 x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Passaggio 1.13.4

Dividi $14 x^{\frac{5}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = 14 x^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 2.7

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2.8

$14$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{14 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $5$ per $14$ .

$\frac{70 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2.10

Scomponi $2$ da $70 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Passaggio 2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Passaggio 2.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Passaggio 2.11.4

Dividi $35 x^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = 35 x^{\frac{3}{2}}$