Calcolo Esempi

$y = 2 x^{3} e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3} e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 e^{x} x^{2}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$2 e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2}$

Passaggio 1.5.4

Riordina i fattori in $2 e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3} e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2} e^{x}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x}) + 6 (e^{x} (2 x))$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 (e^{x} (x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x}) + 6 (e^{x} (2 x))$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 12 (e^{x} (x))$

Passaggio 2.4.3.3

Somma $6 e^{x} x^{2}$ e $6 x^{2} e^{x}$ .

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Passaggio 2.4.3.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} x$

Passaggio 2.4.3.3.2

Somma $6 x^{2} e^{x}$ e $6 x^{2} e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} x$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$2 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} + 12 e^{x} x$

Passaggio 2.4.5

Riordina i fattori in $2 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} + 12 e^{x} x$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 12 x e^{x}$