Calcolo Esempi

$f (θ) = 3 \tan^{2} (θ)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $3 \tan^{2} (θ)$ rispetto a $θ$ è $3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (θ)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (θ)$ .

$3 (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Passaggio 1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 (\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Passaggio 1.4

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$

Passaggio 1.5

Riordina i fattori di $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$ .

$6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \sec^{2} (θ)$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Passaggio 2.3

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\sec^{2} (θ)$ per $\sec^{2} (θ)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 ({\sec (θ)}^{2 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ e $2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sec (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 u \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Passaggio 2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \cdot \tan (θ) \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])$

Passaggio 2.7

La derivata di $\sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ)))$

Passaggio 2.8

Eleva $\tan (θ)$ alla potenza di $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Passaggio 2.9

Eleva $\tan (θ)$ alla potenza di $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Passaggio 2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) \sec (θ))$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec (θ) \sec (θ))$

Passaggio 2.12

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)))$

Passaggio 2.13

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)))$

Passaggio 2.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1})$

Passaggio 2.15

Somma $1$ e $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Passaggio 2.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 \sec^{4} (θ) + 6 (2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Passaggio 2.16.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$6 \sec^{4} (θ) + 12 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$

Passaggio 2.16.3

Riordina i termini.

$f'' (θ) = 12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (θ)$ rispetto a $θ$ è $12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$ .

$12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$