Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Riscrivi $x \sin (\frac{1}{x})$ come $\frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5.2

$\cos (\frac{1}{x})$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.6

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Passaggio 2.3.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

Passaggio 2.5

Combina i fattori.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 2.5.3

$\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Dividi $\cos (\frac{1}{x})$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{x})$

Passaggio 3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\cos (0)$

Passaggio 5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1$