Calcolo Esempi

$\frac{6}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6}{x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 3}$ come ${(x^{2} + 3)}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$6 (- {(x^{2} + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 ({(x^{2} + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Passaggio 1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 12 {(x^{2} + 3)}^{- 2} x$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} + 3)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.4.2.1

$- 12$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12}{{(x^{2} + 3)}^{2}} x$

Passaggio 1.1.4.2.3

$x$ e $\frac{12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.4

Sposta $12$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$12 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 0$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $12$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{6}{x^{2} + 3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{6}{{(0)}^{2} + 3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{6}{0 + 3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{6}{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Dividi $6$ per $3$ .

$2$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 2)$

Passaggio 5