Calcolo Esempi

$2 \cos (4 x) + 4 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (4 x) + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (4 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$2 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 (- \sin (4 x) \cdot 4) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 (- 4 \sin (4 x)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.7

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$- 8 \sin (4 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \sin (4 x) + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \sin (4 x) + 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 8 \sin (4 x) + 4$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 4 - 8 \sin (4 x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 - 8 \sin (4 x)$ .

$4 - 8 \sin (4 x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 - 8 \sin (4 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 - 8 \sin (4 x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 \sin (4 x) = - 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 \sin (4 x) = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 \sin (4 x) = - 4$ .

$\frac{- 8 \sin (4 x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 \sin (4 x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\sin (4 x)$ per $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 4}{- 8}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 4 (1)}{- 8}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $- 4$ da $- 8$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (4 x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (4 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$4 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.6

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{6}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 2.6.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Passaggio 2.6.3.2.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Passaggio 2.7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$4 x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$4 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.8.1.2

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 2.8.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.1

Riordina $π$ e $6$ .

$4 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 2.8.1.4.2

Sottrai $π$ da $6 \cdot π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Passaggio 2.8.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Passaggio 2.8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 2.8.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

Passaggio 2.8.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Passaggio 2.9

Trova il periodo di $\sin (4 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.9.2

Sostituisci $b$ con $4$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Passaggio 2.9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Passaggio 2.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 2.9.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.9.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.9.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 2.10

Il periodo della funzione $\sin (4 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $2 \cos (4 x) + 4 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{π}{24})) + 4 (\frac{π}{24})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{π}{4 (6)}) + 4 (\frac{π}{24})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{π}{24})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{π}{24})$

Passaggio 4.1.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{π}{24})$

Passaggio 4.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{π}{24})$

Passaggio 4.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{π}{24})$

Passaggio 4.1.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{π}{4 (6)}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3} + 4 \frac{π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{13 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{13 π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{13 π}{24})) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{13 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{13 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{13 π}{6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Passaggio 4.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{13 π}{24})$

Passaggio 4.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{13 π}{24})$

Passaggio 4.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{13 π}{24})$

Passaggio 4.2.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{13 π}{4 (6)}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3} + 4 \frac{13 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.2.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + \frac{13 π}{6}$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{25 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{25 π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{25 π}{24})) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{25 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{25 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{25 π}{6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Passaggio 4.3.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{25 π}{24})$

Passaggio 4.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{25 π}{24})$

Passaggio 4.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{25 π}{24})$

Passaggio 4.3.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{25 π}{4 (6)}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3} + 4 \frac{25 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + \frac{25 π}{6}$

Passaggio 4.4

Calcola per $x = \frac{37 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci $\frac{37 π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{37 π}{24})) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Passaggio 4.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{37 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Passaggio 4.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{37 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Passaggio 4.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{37 π}{6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Passaggio 4.4.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Passaggio 4.4.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{37 π}{24})$

Passaggio 4.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{37 π}{24})$

Passaggio 4.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{37 π}{24})$

Passaggio 4.4.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.5.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{37 π}{4 (6)}$

Passaggio 4.4.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3} + 4 \frac{37 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.4.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + \frac{37 π}{6}$

Passaggio 4.5

Calcola per $x = \frac{49 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci $\frac{49 π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{49 π}{24})) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Passaggio 4.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{49 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Passaggio 4.5.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{49 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Passaggio 4.5.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{49 π}{6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Passaggio 4.5.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Passaggio 4.5.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{49 π}{24})$

Passaggio 4.5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{49 π}{24})$

Passaggio 4.5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{49 π}{24})$

Passaggio 4.5.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.5.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{49 π}{4 (6)}$

Passaggio 4.5.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3} + 4 \frac{49 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.5.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} + \frac{49 π}{6}$

Passaggio 4.6

Calcola per $x = \frac{5 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sostituisci $\frac{5 π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{5 π}{24})) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Passaggio 4.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{5 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Passaggio 4.6.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{5 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Passaggio 4.6.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Passaggio 4.6.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Passaggio 4.6.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Passaggio 4.6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{5 π}{24})$

Passaggio 4.6.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{5 π}{24})$

Passaggio 4.6.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{5 π}{24})$

Passaggio 4.6.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.5.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{5 π}{4 (6)}$

Passaggio 4.6.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{5 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.6.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + \frac{5 π}{6}$

Passaggio 4.7

Calcola per $x = \frac{17 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sostituisci $\frac{17 π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{17 π}{24})) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{17 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{17 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{17 π}{6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{17 π}{24})$

Passaggio 4.7.2.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.6.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{17 π}{4 (6)}$

Passaggio 4.7.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{17 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.7.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + \frac{17 π}{6}$

Passaggio 4.8

Calcola per $x = \frac{29 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Sostituisci $\frac{29 π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{29 π}{24})) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{29 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{29 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{29 π}{6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{29 π}{24})$

Passaggio 4.8.2.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.6.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{29 π}{4 (6)}$

Passaggio 4.8.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{29 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.8.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + \frac{29 π}{6}$

Passaggio 4.9

Calcola per $x = \frac{41 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Sostituisci $\frac{41 π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{41 π}{24})) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{41 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{41 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{41 π}{6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{41 π}{24})$

Passaggio 4.9.2.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.6.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{41 π}{4 (6)}$

Passaggio 4.9.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{41 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.9.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + \frac{41 π}{6}$

Passaggio 4.10

Calcola per $x = \frac{53 π}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Sostituisci $\frac{53 π}{24}$ a $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{53 π}{24})) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$2 \cos (4 \frac{53 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (4 \frac{53 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (\frac{53 π}{6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{53 π}{24})$

Passaggio 4.10.2.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.6.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{53 π}{4 (6)}$

Passaggio 4.10.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{53 π}{4 \cdot 6}$

Passaggio 4.10.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} + \frac{53 π}{6}$

Passaggio 4.11

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{24}, \sqrt{3} + \frac{π}{6}), (\frac{13 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{13 π}{6}), (\frac{25 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{25 π}{6}), (\frac{37 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{37 π}{6}), (\frac{49 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{49 π}{6}), (\frac{5 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{5 π}{6}), (\frac{17 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{17 π}{6}), (\frac{29 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{29 π}{6}), (\frac{41 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{41 π}{6}), (\frac{53 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{53 π}{6})$

Passaggio 5