Calcolo Esempi

$\sqrt{x} \ln (6 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} \ln (6 x))$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (6 x)$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (\ln (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{6 x} \cdot \frac{d}{d x} (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

$\frac{1}{6 x}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6 x} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.4.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 (x^{- \frac{1}{2}} x)} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 (x^{- \frac{1}{2}} x)} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{- \frac{1}{2} + 1}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.6

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot (6 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

$6$ e $\frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{6}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.9

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.12

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.14.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.14.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.16

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.17

$\ln (6 x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.18

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni lato per $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Semplifica $\frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (6 x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (6 x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (6 x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$\ln (6 x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.2.1.1.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (6 x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Passaggio 2.4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\ln (6 x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Passaggio 2.4.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\ln (6 x) = - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\ln (6 x) = - 2$

Passaggio 2.5

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (6 x)} = e^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi $\ln (6 x) = - 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = 6 x$

Passaggio 2.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Riscrivi l'equazione come $6 x = e^{- 2}$ .

$6 x = e^{- 2}$

Passaggio 2.7.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = e^{- 2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = e^{- 2}$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{e^{- 2}}{6}$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{e^{- 2}}{6}$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{e^{- 2}}{6}$

Passaggio 2.7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1

Sposta $e^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{6 e^{2}}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 3.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 3.1.4

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta il denominatore in $\frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.2.1.4

Semplifica.

$4 x = 0^{2}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x = 0$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 3.6

Imposta l'argomento in $\ln (6 x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$6 x \leq 0$

Passaggio 3.7

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x \leq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x \leq 0$ .

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{0}{6}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{0}{6}$

Passaggio 3.7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{6}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$x \leq 0$

Passaggio 3.8

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 3.9

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt{x} \ln (6 x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{6 e^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\frac{1}{6 e^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{\frac{1}{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{6 e^{2}}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6 e^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Riordina $6$ e $e^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{e^{2} \cdot 6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{1}{e \sqrt{6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $\frac{1}{e \sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{1}{e \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $\frac{1}{e \sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e \sqrt{6} \sqrt{6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sposta $\sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e (\sqrt{6} \sqrt{6})} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.4

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{6}}{e {\sqrt{6}}^{1 + 1}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e {\sqrt{6}}^{2}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.7

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{\frac{2}{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{\frac{2}{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{1}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.6.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.7

Sposta $6$ alla sinistra di $e$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6 \cdot e} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Passaggio 4.1.2.8

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Scomponi $6$ da $6 e^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (6 \frac{1}{6 (e^{2})})$

Passaggio 4.1.2.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (6 \frac{1}{6 e^{2}})$

Passaggio 4.1.2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 4.1.2.9

Sposta $e^{2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (e^{- 2})$

Passaggio 4.1.2.10

Espandi $\ln (e^{- 2})$ spostando $- 2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} (- 2 \ln (e))$

Passaggio 4.1.2.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.11.1

Scomponi $2$ da $6 e$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 (3 e)} (- 2 \ln (e))$

Passaggio 4.1.2.11.2

Scomponi $2$ da $- 2 \ln (e)$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 (3 e)} (2 (- \ln (e)))$

Passaggio 4.1.2.11.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{6}}{2 (3 e)} (2 (- \ln (e)))$

Passaggio 4.1.2.11.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{6}}{3 e} (- \ln (e))$

Passaggio 4.1.2.12

$\frac{\sqrt{6}}{3 e}$ e $\ln (e)$ .

$- \frac{\sqrt{6} \ln (e)}{3 e}$

Passaggio 4.1.2.13

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- \frac{\sqrt{6} \cdot 1}{3 e}$

Passaggio 4.1.2.14

Moltiplica $\sqrt{6}$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{3 e}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$\sqrt{0} \ln (6 (0))$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{0} \ln (6 (0))$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \ln (6 (0))$

Passaggio 4.2.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0 \ln (6 (0))$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi $\ln (6 (0))$ come $\ln (6) + \ln (0)$ .

$0 (\ln (6) + \ln (0))$

Passaggio 4.2.2.5

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{6 e^{2}}, - \frac{\sqrt{6}}{3 e})$

Passaggio 5