Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (13 - 9 x^{2} + 2 x^{4})$ , $x = 1$

Passaggio 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = \ln (13 - 9 {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (13 - 9 \cdot 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (13 - 9 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Passaggio 1.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (13 - 9 {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $\ln (13 - 9 {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \ln (13 - 9 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.4.1.2

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$y = \ln (13 - 9 + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \ln (13 - 9 + 2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \ln (13 - 9 + 2)$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Sottrai $9$ da $13$ .

$y = \ln (4 + 2)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $4$ e $2$ .

$y = \ln (6)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \ln (6)$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 2 (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 8 x^{3})$

Passaggio 2.2.9.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 8 x^{3})$ .

$(- 18 x + 8 x^{3}) \frac{1}{13 - 9 x^{2} + 2 x^{4}}$

Passaggio 2.3

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$(- 18 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{13 - 9 {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 18 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{13 - 9 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$(- 18 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{13 - 9 + 2 {(1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 18 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{13 - 9 + 2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(- 18 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{13 - 9 + 2}$

Passaggio 2.4.1.5

Sottrai $9$ da $13$ .

$(- 18 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 + 2}$

Passaggio 2.4.1.6

Somma $4$ e $2$ .

$(- 18 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{6}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$(- 18 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{6}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 18 + 8 \cdot 1) \frac{1}{6}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$(- 18 + 8) \frac{1}{6}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Somma $- 18$ e $8$ .

$- 10 (\frac{1}{6})$

Passaggio 2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$2 (- 5) \frac{1}{6}$

Passaggio 2.4.2.2.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \cdot - 5 \frac{1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 5 \frac{1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 5 (\frac{1}{3})$

Passaggio 2.4.2.2.3

$- 5$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{3}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $- \frac{5}{3}$ e un punto dato $(1, \ln (6))$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (6)) = - \frac{5}{3} \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - \ln (6) = - \frac{5}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- \frac{5}{3} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \ln (6) = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \ln (6) = - \frac{5}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \ln (6) = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

$x$ e $\frac{5}{3}$ .

$y - \ln (6) = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $- \frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \ln (6) = - \frac{x \cdot 5}{3} + 1 (\frac{5}{3})$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $1$ .

$y - \ln (6) = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3.1.6

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y - \ln (6) = - \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3.2

Somma $\ln (6)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} + \ln (6)$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per scrivere $\ln (6)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} + \ln (6) \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.3.2

$\ln (6)$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} + \frac{\ln (6) \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{5 + \ln (6) \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1

Moltiplica $\ln (6) \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1.1

Riordina $\ln (6)$ e $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{5 + 3 \cdot \ln (6)}{3}$

Passaggio 3.3.3.4.1.2

Semplifica $3 \cdot \ln (6)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{5 + \ln (6^{3})}{3}$

Passaggio 3.3.3.4.2

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{5 + \ln (216)}{3}$

Passaggio 3.3.3.5

Riordina i termini.

$y = - (\frac{5}{3} x) + \frac{5 + \ln (216)}{3}$

Passaggio 3.3.3.6

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{5 + \ln (216)}{3}$

Passaggio 4