Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{3}}{32} - 6 x$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{3}}{32} - 6 x$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{3}}{32} - 6 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{32} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{32}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{32}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{32}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{32}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{32}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{32} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{32}$ .

$\frac{3}{32} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{3}{32}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{32} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{32} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{32} - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{32} - 6$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x^{2}}{32} - 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{32} - 6$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{2}}{32} - 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{32} - 6 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{3 x^{2}}{32} = 6$

Passaggio 3.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{32}{3}$ .

$\frac{32}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{32} = \frac{32}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica $\frac{32}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Combina.

$\frac{32 (3 x^{2})}{3 \cdot 32} = \frac{32}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{32 (3 x^{2})}{3 \cdot 32} = \frac{32}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{32}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{32}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.1.1.3.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{32}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $\frac{32}{3} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$x^{2} = \frac{32}{3} \cdot (3 (2))$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{32}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Passaggio 3.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 32 \cdot 2$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $32$ per $2$ .

$x^{2} = 64$

Passaggio 3.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{64}$

Passaggio 3.6

Semplifica $\pm \sqrt{64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 8$

Passaggio 3.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8$

Passaggio 3.7.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8$

Passaggio 3.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8, - 8$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $8, - 8$ .

$8, - 8$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 8)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9$ nell'espressione.

$f' (- 9) = \frac{3 {(- 9)}^{2}}{32} - 6$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 9) = \frac{3 \cdot 81}{32} - 6$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $81$ .

$f' (- 9) = \frac{243}{32} - 6$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{32}{32}$ .

$f' (- 9) = \frac{243}{32} - 6 \cdot \frac{32}{32}$

Passaggio 6.2.3

$- 6$ e $\frac{32}{32}$ .

$f' (- 9) = \frac{243}{32} + \frac{- 6 \cdot 32}{32}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 9) = \frac{243 - 6 \cdot 32}{32}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $- 6$ per $32$ .

$f' (- 9) = \frac{243 - 192}{32}$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $192$ da $243$ .

$f' (- 9) = \frac{51}{32}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $\frac{51}{32}$ .

$\frac{51}{32}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 9$ la derivata è $\frac{51}{32}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 8)$ .

Crescente su $(- \infty, - 8)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 8, 8)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{32} - 6$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{32} - 6$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{32} - 6$

Passaggio 7.2.1.3

Dividi $0$ per $32$ .

$f' (0) = 0 - 6$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$f' (0) = - 6$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 6$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 8, 8)$ .

Decrescente su $(- 8, 8)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(8, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f' (9) = \frac{3 {(9)}^{2}}{32} - 6$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot {(3^{2})}^{2}}{32} - 6$

Passaggio 8.2.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot 3^{2 \cdot 2}}{32} - 6$

Passaggio 8.2.1.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot 3^{4}}{32} - 6$

Passaggio 8.2.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (9) = \frac{3^{1 + 4}}{32} - 6$

Passaggio 8.2.1.1.4

Somma $1$ e $4$ .

$f' (9) = \frac{3^{5}}{32} - 6$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$f' (9) = \frac{243}{32} - 6$

Passaggio 8.2.2

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{32}{32}$ .

$f' (9) = \frac{243}{32} - 6 \cdot \frac{32}{32}$

Passaggio 8.2.3

$- 6$ e $\frac{32}{32}$ .

$f' (9) = \frac{243}{32} + \frac{- 6 \cdot 32}{32}$

Passaggio 8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (9) = \frac{243 - 6 \cdot 32}{32}$

Passaggio 8.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Moltiplica $- 6$ per $32$ .

$f' (9) = \frac{243 - 192}{32}$

Passaggio 8.2.5.2

Sottrai $192$ da $243$ .

$f' (9) = \frac{51}{32}$

Passaggio 8.2.6

La risposta finale è $\frac{51}{32}$ .

$\frac{51}{32}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 9$ la derivata è $\frac{51}{32}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(8, \infty)$ .

Crescente su $(8, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 8), (8, \infty)$

Decrescente su: $(- 8, 8)$

Passaggio 10