Calcolo Esempi

$\sec (\sin^{-1} (u))$

Passaggio 1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\sin^{-1} (u)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ . Perciò, $\sec (\sin^{-1} (u))$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = u$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 4.2

Eleva $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 4.3

Eleva $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

Passaggio 4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Passaggio 4.6

Riscrivi ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ come $(1 + u) (1 - u)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ come ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

Passaggio 4.6.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Passaggio 5

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 6

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 7

Sostituisci i valori effettivi di $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Passaggio 8

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Passaggio 8.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{((1 + u) (1 - u))}^{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Applica la regola del prodotto a $(1 + u) (1 - u)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ come $(1 + u) (1 - u)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ come ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.1.5

Semplifica.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.2

Espandi $(1 + u) (1 - u)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 (1 - u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.1.2

Moltiplica $- u$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.1.3

Moltiplica $u$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u \cdot u}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.1.5

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1.5.1

Sposta $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - (u \cdot u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.1.5.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.2

Somma $- u$ e $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 0 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2} - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.3.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scomponi $1 + u$ da ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Passaggio 8.4.2

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Passaggio 8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune di $1 - u$ e ${(1 - u)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Moltiplica per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Passaggio 8.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Scomponi $1 - u$ da $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Passaggio 8.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Passaggio 8.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 8.6

Somma $0$ e $\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 8.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 8.8

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 8.9

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 8.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 8.10.2

Eleva $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 8.10.3

Eleva $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Passaggio 8.10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Passaggio 8.10.6

Riscrivi ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ come $(1 + u) (1 - u)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ come ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.10.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.10.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.10.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.10.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Passaggio 8.10.6.5

Semplifica.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Passaggio 9

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$

Passaggio 10

Sostituisci i valori di $θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$ e $| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u) (\cos (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})) + i \sin (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})))}$