Calcolo Esempi

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} - 12 x - 96} \geq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

$3 x^{2} - 12 x - 96 = 0$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Passaggio 7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 12 x - 96$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 96 = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $3$ da $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 96 = 0$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $3$ da $- 96$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

Passaggio 7.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 32) = 0$

Passaggio 7.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $x^{2} - 4 x - 32$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 32$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 8, 4$

Passaggio 7.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$3 ((x - 8) (x + 4)) = 0$

Passaggio 7.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 8) (x + 4) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 9

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 10

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 8) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 8, - 4$

Passaggio 12

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

$x = 8, - 4$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

$x = \frac{1}{3}, - 1, 8, - 4$

Passaggio 14

Trova il dominio di $\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} - 12 x - 96}$ .

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Passaggio 14.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} - 12 x - 96}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 x^{2} - 12 x - 96 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 12 x - 96$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 96 = 0$

Passaggio 14.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 96 = 0$

Passaggio 14.2.1.1.3

Scomponi $3$ da $- 96$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

Passaggio 14.2.1.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

Passaggio 14.2.1.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 32) = 0$

Passaggio 14.2.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1

Scomponi $x^{2} - 4 x - 32$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 32$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 8, 4$

Passaggio 14.2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$3 ((x - 8) (x + 4)) = 0$

Passaggio 14.2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 8) (x + 4) = 0$

Passaggio 14.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 14.2.3

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 14.2.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 14.2.4

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 14.2.4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 14.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 8) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 8, - 4$

Passaggio 14.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8) \cup (8, \infty)$

Passaggio 15

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 8$

$x > 8$

Passaggio 16

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 16.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 16.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 1}{3 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 96} \geq 0$

Passaggio 16.1.3

Il lato sinistro di $1.13095238$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 16.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 16.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 1}{3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 96} \geq 0$

Passaggio 16.2.3

Il lato sinistro di $- 0.11\overline{6}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 16.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < \frac{1}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 16.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < \frac{1}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 16.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1}{3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 96} \geq 0$

Passaggio 16.3.3

Il lato sinistro di $0.01041\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 16.4

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 16.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 1}{3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 - 96} \geq 0$

Passaggio 16.4.3

Il lato sinistro di $- 0.57291\overline{6}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 16.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 16.5.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 {(10)}^{2} + 2 (10) - 1}{3 {(10)}^{2} - 12 \cdot 10 - 96} \geq 0$

Passaggio 16.5.3

Il lato sinistro di $3.79761904$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 16.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Vero

$\frac{1}{3} < x < 8$ Falso

$x > 8$ Vero

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Vero

$\frac{1}{3} < x < 8$ Falso

$x > 8$ Vero

Passaggio 17

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 4$ o $- 1 \leq x \leq \frac{1}{3}$ o $x > 8$

Passaggio 18

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 4) \cup [- 1, \frac{1}{3}] \cup (8, \infty)$

Passaggio 19