Calcolo Esempi

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 1

Dividi l'integrale in $0$ e scrivilo come una somma di limiti.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{upper} = e^{- 0}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{upper} = e^{0}$

Passaggio 2.4.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $- \frac{1}{2} u_{2}$ per $1$ e per $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 6.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 6.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 6.1.4.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Passaggio 6.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 6.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Passaggio 6.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Passaggio 6.6

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola $- \frac{1}{2} u_{2}$ per $e^{- t^{2}}$ e per $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$e^{- t^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Calcola i limiti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Combina le frazioni usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 10.1.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 10.1.3

Scomponi $- 1$ da $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 10.1.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 10.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2

Combina le frazioni usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

Passaggio 10.2.2

Scomponi $- 1$ da $- e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

Passaggio 10.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Passaggio 10.2.5

Riscrivi $- (e^{- t^{2}} - 1)$ come $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Passaggio 10.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Passaggio 10.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Passaggio 10.3.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Passaggio 10.3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Passaggio 10.3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Passaggio 10.4

Poiché l'esponente $- t^{2}$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- t^{2}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Passaggio 10.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Passaggio 10.5.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

Passaggio 10.5.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 10.6

Poiché l'esponente $- t^{2}$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- t^{2}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 10.7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 10.7.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.2.1.1

Sottrai $0$ da $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 10.7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 10.7.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

Passaggio 10.7.2.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 10.7.2.1.5

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 10.7.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 10.7.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 1}{2}$

Passaggio 10.7.2.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{2}$

Passaggio 10.7.2.4

Dividi $0$ per $2$ .

$0$