Calcolo Esempi

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Passaggio 2

Somma $3$ e $5$ .

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Passaggio 3

Sia $u = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

Semplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $3 \cos (t)$ .

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

Passaggio 7

L'integrale di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

Passaggio 9

Semplifica.

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$