Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Passaggio 1.3.9

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

Passaggio 1.4.1.2

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.1.3

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.2

Sposta $- 15$ alla sinistra di $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi ${(2 - 5 x)}^{2}$ come $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ .

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.4

Espandi $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.5.1.2

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.5.1.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.5.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1.5.1

Sposta $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.5.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.5.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.5.2

Sottrai $10 x$ da $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.6

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.1.1

Sposta $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.8.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.8.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.8.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.4.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

Passaggio 1.4.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

Passaggio 1.4.9.3

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

Passaggio 1.4.10

Sottrai $10 x$ da $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

Passaggio 1.4.11

Espandi $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.12.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.12.2.1

Sposta $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.3

Moltiplica $4$ per $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.12.6.1

Sposta $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.12.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.7

Moltiplica $- 20$ per $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.8

Moltiplica $4$ per $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.10

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.12.10.1

Sposta $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.10.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.12.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.10.3

Somma $1$ e $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.11

Moltiplica $25$ per $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.4.12.12

Moltiplica $4$ per $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Passaggio 1.4.13

Sottrai $80 x^{2}$ da $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Passaggio 1.4.14

Somma $500 x^{3}$ e $100 x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 180 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 180$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 180 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 180 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 180 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 180$ .

$f'' (x) = - 360 x + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 625$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 625 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $4$ per $- 625$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $600$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $600 x^{3}$ rispetto a $x$ è $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $3$ per $600$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

Passaggio 2.6

Riordina i termini.

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Passaggio 4.1.3.9

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1.1

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

Passaggio 4.1.4.1.2

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.1.3

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.2

Sposta $- 15$ alla sinistra di $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.3

Riscrivi ${(2 - 5 x)}^{2}$ come $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ .

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.4

Espandi $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.5.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.5.1.2

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.5.1.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.5.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.5.1.5.1

Sposta $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.5.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.5.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.5.2

Sottrai $10 x$ da $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.6

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.7.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.8.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.8.1.1

Sposta $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.8.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.8.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.8.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.8.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 4.1.4.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

Passaggio 4.1.4.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

Passaggio 4.1.4.9.3

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

Passaggio 4.1.4.10

Sottrai $10 x$ da $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

Passaggio 4.1.4.11

Espandi $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.12.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.12.2.1

Sposta $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.3

Moltiplica $4$ per $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.12.6.1

Sposta $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.12.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.7

Moltiplica $- 20$ per $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.8

Moltiplica $4$ per $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.10

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.12.10.1

Sposta $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.10.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.12.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.10.3

Somma $1$ e $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.11

Moltiplica $25$ per $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 4.1.4.12.12

Moltiplica $4$ per $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Passaggio 4.1.4.13

Sottrai $80 x^{2}$ da $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Passaggio 4.1.4.14

Somma $500 x^{3}$ e $100 x^{3}$ .

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $x$ da $- 180 x^{2}$ .

$x (- 180 x) + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $x$ da $16 x$ .

$x (- 180 x) + x \cdot 16 - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $x$ da $- 625 x^{4}$ .

$x (- 180 x) + x \cdot 16 + x (- 625 x^{3}) + 600 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $x$ da $600 x^{3}$ .

$x (- 180 x) + x \cdot 16 + x (- 625 x^{3}) + x (600 x^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $x$ da $x (- 180 x) + x \cdot 16$ .

$x (- 180 x + 16) + x (- 625 x^{3}) + x (600 x^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.1.6

Scomponi $x$ da $x (- 180 x + 16) + x (- 625 x^{3})$ .

$x (- 180 x + 16 - 625 x^{3}) + x (600 x^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.1.7

Scomponi $x$ da $x (- 180 x + 16 - 625 x^{3}) + x (600 x^{2})$ .

$x (- 180 x + 16 - 625 x^{3} + 600 x^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riordina i termini.

$x (- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

Passaggio 5.2.3.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 16, \pm 0.0256, \pm 3.2, \pm 0.128, \pm 0.64, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08, \pm 8, \pm 0.0128, \pm 1.6, \pm 0.064, \pm 0.32, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16$

Passaggio 5.2.3.1.3

Sostituisci $0.4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.1

Sostituisci $0.4$ nel polinomio.

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 600 \cdot {0.4}^{2} - 180 \cdot 0.4 + 16$

Passaggio 5.2.3.1.3.2

Eleva $0.4$ alla potenza di $3$ .

$- 625 \cdot 0.064 + 600 \cdot {0.4}^{2} - 180 \cdot 0.4 + 16$

Passaggio 5.2.3.1.3.3

Moltiplica $- 625$ per $0.064$ .

$- 40 + 600 \cdot {0.4}^{2} - 180 \cdot 0.4 + 16$

Passaggio 5.2.3.1.3.4

Eleva $0.4$ alla potenza di $2$ .

$- 40 + 600 \cdot 0.16 - 180 \cdot 0.4 + 16$

Passaggio 5.2.3.1.3.5

Moltiplica $600$ per $0.16$ .

$- 40 + 96 - 180 \cdot 0.4 + 16$

Passaggio 5.2.3.1.3.6

Somma $- 40$ e $96$ .

$56 - 180 \cdot 0.4 + 16$

Passaggio 5.2.3.1.3.7

Moltiplica $- 180$ per $0.4$ .

$56 - 72 + 16$

Passaggio 5.2.3.1.3.8

Sottrai $72$ da $56$ .

$- 16 + 16$

Passaggio 5.2.3.1.3.9

Somma $- 16$ e $16$ .

$0$

Passaggio 5.2.3.1.4

Poiché $0.4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $5 x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16}{5 x - 2}$

Passaggio 5.2.3.1.5

Dividi $- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16$ per $5 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$600 x^{2}$

$180 x$

$16$

Passaggio 5.2.3.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 625 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$

Passaggio 5.2.3.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

Passaggio 5.2.3.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

Passaggio 5.2.3.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$

Passaggio 5.2.3.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$

Passaggio 5.2.3.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $350 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$

Passaggio 5.2.3.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					+	$350 x^{2}$	-	$140 x$

Passaggio 5.2.3.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $350 x^{2} - 140 x$

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$

Passaggio 5.2.3.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$

Passaggio 5.2.3.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$

Passaggio 5.2.3.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 40 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$

Passaggio 5.2.3.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$
							-	$40 x$	+	$16$

Passaggio 5.2.3.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 40 x + 16$

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$
							+	$40 x$	-	$16$

Passaggio 5.2.3.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$
							+	$40 x$	-	$16$
										$0$

Passaggio 5.2.3.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- 125 x^{2} + 70 x - 8$

Passaggio 5.2.3.1.6

Scrivi $- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16$ come insieme di fattori.

$x ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 70 x - 8)) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 70 x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 125 \cdot - 8 = 1000$ e la cui somma è $b = 70$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1.1

Scomponi $70$ da $70 x$ .

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 70 (x) - 8) = 0$

Passaggio 5.2.4.1.1.2

Riscrivi $70$ come $20$ più $50$ .

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + (20 + 50) x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 20 x + 50 x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x (5 x - 2) ((- 125 x^{2} + 20 x) + 50 x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.4.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (5 x - 2) (5 x (- 25 x + 4) - 2 (- 25 x + 4)) = 0$

Passaggio 5.2.4.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 25 x + 4$ .

$x (5 x - 2) ((- 25 x + 4) (5 x - 2)) = 0$

Passaggio 5.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (5 x - 2) (- 25 x + 4) (5 x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Eleva $5 x - 2$ alla potenza di $1$ .

$x ((5 x - 2) (5 x - 2)) (- 25 x + 4) = 0$

Passaggio 5.2.5.2

Eleva $5 x - 2$ alla potenza di $1$ .

$x ((5 x - 2) (5 x - 2)) (- 25 x + 4) = 0$

Passaggio 5.2.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x {(5 x - 2)}^{1 + 1} (- 25 x + 4) = 0$

Passaggio 5.2.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$x {(5 x - 2)}^{2} (- 25 x + 4) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(5 x - 2)}^{2} = 0$

$- 25 x + 4 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta ${(5 x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta ${(5 x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(5 x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi ${(5 x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Poni $5 x - 2$ uguale a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Passaggio 5.5.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 2$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 5.5.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 5.5.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Passaggio 5.6

Imposta $- 25 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $- 25 x + 4$ uguale a $0$ .

$- 25 x + 4 = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi $- 25 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 25 x = - 4$

Passaggio 5.6.2.2

Dividi per $- 25$ ciascun termine in $- 25 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Dividi per $- 25$ ciascun termine in $- 25 x = - 4$ .

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 4}{- 25}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 4}{- 25}$

Passaggio 5.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 25}$

Passaggio 5.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{4}{25}$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x {(5 x - 2)}^{2} (- 25 x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{2}{5}, \frac{4}{25}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{2}{5}, \frac{4}{25}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2500 {(0)}^{3} + 1800 {(0)}^{2} - 360 \cdot 0 + 16$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 2500 \cdot 0 + 1800 {(0)}^{2} - 360 \cdot 0 + 16$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 2500$ per $0$ .

$0 + 1800 {(0)}^{2} - 360 \cdot 0 + 16$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 1800 \cdot 0 - 360 \cdot 0 + 16$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $1800$ per $0$ .

$0 + 0 - 360 \cdot 0 + 16$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $- 360$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 + 16$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 16$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 16$

Passaggio 9.2.3

Somma $0$ e $16$ .

$16$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0)}^{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 {(2 - 5 \cdot 0)}^{3}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$f (0) = 0 {(2 + 0)}^{3}$

Passaggio 11.2.3

Somma $2$ e $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 2^{3}$

Passaggio 11.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (0) = 0 \cdot 8$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $0$ per $8$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2500 {(\frac{2}{5})}^{3} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$- 2500 \frac{2^{3}}{5^{3}} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 2500 \frac{8}{5^{3}} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$- 2500 (\frac{8}{125}) + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.4

Elimina il fattore comune di $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Scomponi $125$ da $- 2500$ .

$125 (- 20) \frac{8}{125} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$125 \cdot - 20 \frac{8}{125} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 20 \cdot 8 + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.5

Moltiplica $- 20$ per $8$ .

$- 160 + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$- 160 + 1800 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 160 + 1800 \frac{4}{5^{2}} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.8

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- 160 + 1800 (\frac{4}{25}) - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.9

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.9.1

Scomponi $25$ da $1800$ .

$- 160 + 25 (72) \frac{4}{25} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$- 160 + 25 \cdot 72 \frac{4}{25} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$- 160 + 72 \cdot 4 - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.10

Moltiplica $72$ per $4$ .

$- 160 + 288 - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Passaggio 13.1.11

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.1

Scomponi $5$ da $- 360$ .

$- 160 + 288 + 5 (- 72) \frac{2}{5} + 16$

Passaggio 13.1.11.2

Elimina il fattore comune.

$- 160 + 288 + 5 \cdot - 72 \frac{2}{5} + 16$

Passaggio 13.1.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- 160 + 288 - 72 \cdot 2 + 16$

Passaggio 13.1.12

Moltiplica $- 72$ per $2$ .

$- 160 + 288 - 144 + 16$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $- 160$ e $288$ .

$128 - 144 + 16$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $144$ da $128$ .

$- 16 + 16$

Passaggio 13.2.3

Somma $- 16$ e $16$ .

$0$

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{25}) \cup (\frac{4}{25}, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 180 {(- 2)}^{2} + 16 (- 2) - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 180 \cdot 4 + 16 (- 2) - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 14.2.2.1.2

Moltiplica $- 180$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 720 + 16 (- 2) - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 14.2.2.1.3

Moltiplica $16$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 14.2.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 625 \cdot 16 + 600 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 14.2.2.1.5

Moltiplica $- 625$ per $16$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 10000 + 600 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 14.2.2.1.6

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 10000 + 600 \cdot - 8$

Passaggio 14.2.2.1.7

Moltiplica $600$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 10000 - 4800$

Passaggio 14.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Sottrai $32$ da $- 720$ .

$f' (- 2) = - 752 - 10000 - 4800$

Passaggio 14.2.2.2.2

Sottrai $10000$ da $- 752$ .

$f' (- 2) = - 10752 - 4800$

Passaggio 14.2.2.2.3

Sottrai $4800$ da $- 10752$ .

$f' (- 2) = - 15552$

Passaggio 14.2.2.3

La risposta finale è $- 15552$ .

$- 15552$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.08$ , dell'intervallo $(0, \frac{4}{25})$ nella derivata prima $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.08$ nell'espressione.

$f' (0.08) = - 180 {(0.08)}^{2} + 16 (0.08) - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.1

Eleva $0.08$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.08) = - 180 \cdot 0.0064 + 16 (0.08) - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

Passaggio 14.3.2.1.2

Moltiplica $- 180$ per $0.0064$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 16 (0.08) - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

Passaggio 14.3.2.1.3

Moltiplica $16$ per $0.08$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

Passaggio 14.3.2.1.4

Eleva $0.08$ alla potenza di $4$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 625 \cdot 0.00004096 + 600 {(0.08)}^{3}$

Passaggio 14.3.2.1.5

Moltiplica $- 625$ per $0.00004096$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 0.0256 + 600 {(0.08)}^{3}$

Passaggio 14.3.2.1.6

Eleva $0.08$ alla potenza di $3$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 0.0256 + 600 \cdot 0.000512$

Passaggio 14.3.2.1.7

Moltiplica $600$ per $0.000512$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 0.0256 + 0.3072$

Passaggio 14.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.1

Somma $- 1.152$ e $1.28$ .

$f' (0.08) = 0.128 - 0.0256 + 0.3072$

Passaggio 14.3.2.2.2

Sottrai $0.0256$ da $0.128$ .

$f' (0.08) = 0.1024 + 0.3072$

Passaggio 14.3.2.2.3

Somma $0.1024$ e $0.3072$ .

$f' (0.08) = 0.4096$

Passaggio 14.3.2.3

La risposta finale è $0.4096$ .

$0.4096$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.28$ , dell'intervallo $(\frac{4}{25}, \frac{2}{5})$ nella derivata prima $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.28$ nell'espressione.

$f' (0.28) = - 180 {(0.28)}^{2} + 16 (0.28) - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.1

Eleva $0.28$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.28) = - 180 \cdot 0.0784 + 16 (0.28) - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

Passaggio 14.4.2.1.2

Moltiplica $- 180$ per $0.0784$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 16 (0.28) - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

Passaggio 14.4.2.1.3

Moltiplica $16$ per $0.28$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

Passaggio 14.4.2.1.4

Eleva $0.28$ alla potenza di $4$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 625 \cdot 0.00614656 + 600 {(0.28)}^{3}$

Passaggio 14.4.2.1.5

Moltiplica $- 625$ per $0.00614656$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 3.8416 + 600 {(0.28)}^{3}$

Passaggio 14.4.2.1.6

Eleva $0.28$ alla potenza di $3$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 3.8416 + 600 \cdot 0.021952$

Passaggio 14.4.2.1.7

Moltiplica $600$ per $0.021952$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 3.8416 + 13.1712$

Passaggio 14.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.2.1

Somma $- 14.112$ e $4.48$ .

$f' (0.28) = - 9.632 - 3.8416 + 13.1712$

Passaggio 14.4.2.2.2

Sottrai $3.8416$ da $- 9.632$ .

$f' (0.28) = - 13.4736 + 13.1712$

Passaggio 14.4.2.2.3

Somma $- 13.4736$ e $13.1712$ .

$f' (0.28) = - 0.3024$

Passaggio 14.4.2.3

La risposta finale è $- 0.3024$ .

$- 0.3024$

Passaggio 14.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{2}{5}, \infty)$ nella derivata prima $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - 180 {(3)}^{2} + 16 (3) - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

Passaggio 14.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = - 180 \cdot 9 + 16 (3) - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

Passaggio 14.5.2.1.2

Moltiplica $- 180$ per $9$ .

$f' (3) = - 1620 + 16 (3) - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

Passaggio 14.5.2.1.3

Moltiplica $16$ per $3$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

Passaggio 14.5.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 625 \cdot 81 + 600 {(3)}^{3}$

Passaggio 14.5.2.1.5

Moltiplica $- 625$ per $81$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 50625 + 600 {(3)}^{3}$

Passaggio 14.5.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 50625 + 600 \cdot 27$

Passaggio 14.5.2.1.7

Moltiplica $600$ per $27$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 50625 + 16200$

Passaggio 14.5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.2.1

Somma $- 1620$ e $48$ .

$f' (3) = - 1572 - 50625 + 16200$

Passaggio 14.5.2.2.2

Sottrai $50625$ da $- 1572$ .

$f' (3) = - 52197 + 16200$

Passaggio 14.5.2.2.3

Somma $- 52197$ e $16200$ .

$f' (3) = - 35997$

Passaggio 14.5.2.3

La risposta finale è $- 35997$ .

$- 35997$

Passaggio 14.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 14.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{4}{25}$ , allora $x = \frac{4}{25}$ è un massimo locale.

$x = \frac{4}{25}$ è un massimo locale

Passaggio 14.8

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = \frac{2}{5}$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 14.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x = 0$ è un minimo locale

$x = \frac{4}{25}$ è un massimo locale

$x = 0$ è un minimo locale

$x = \frac{4}{25}$ è un massimo locale

Passaggio 15