Calcolo Esempi

$g (x) = - \sqrt{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 6 x + 18}$ come ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 6 x + 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 6 x + 18$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 6 x + 18$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6 x + 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 1.10

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 1.12

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 1.13

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 + 0)$

Passaggio 1.14

Somma $2 x + 6$ e $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$

Passaggio 1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Riordina i fattori di $- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$ .

$- (2 x + 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$(- 2 x - 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.5

Moltiplica $- 2 x - 6$ per $\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x - 6}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.6

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 6}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.7

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot - 3}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.8

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (- x - 3)}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.9.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x - 3)}{2 ({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.15.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x - 3)}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.10

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.11

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x) - 1 (3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.12

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.13

Riscrivi $- (x + 3)$ come $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$g'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (3)) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 6 x + 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + 6 x + 18$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + 6 x + 18$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11.3

Sposta ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6 x + 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.14

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.16

Moltiplica $6$ per $1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6 + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.17

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6 + 0))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.18

Somma $2 x + 6$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.19

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

Passaggio 2.20

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.1

Moltiplica $\frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ per $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18} + 0$

Passaggio 2.20.2

Somma $- \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18}$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.1

Sia $u_{2} = {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ con $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.1.1

Eleva $u_{2}$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 3)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.1.2

Eleva $u_{2}$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 3)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = - \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x + 3)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x + 3)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = u_{2}$ e $b = x + 3$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{(u_{2} + x + 3) (u_{2} - (x + 3))}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{\frac{(u_{2} + x + 3) (u_{2} - x - 1 \cdot 3)}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{(u_{2} + x + 3) (u_{2} - x - 3)}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x + 3) ({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - x - 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.1

Espandi $({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x + 3) ({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - x - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.2

Combina i termini opposti in ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.2.1

Riordina i fattori nei termini di ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ e $x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.2.2

Somma $- x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ e $x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + 0 + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.2.3

Somma ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.2.4

Riordina i fattori nei termini di ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3$ e $3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.2.5

Somma $- 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ e $3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 0 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.2.6

Somma ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.3.1

Moltiplica ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.3.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.1.4

Dividi $2$ per $2$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{(x^{2} + 6 x + 18) + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.2

Semplifica ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{1}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.3.4.1

Sposta $x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.5

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} - 3 \cdot x + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} - 3 x - 3 x + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.3.7

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} - 3 x - 3 x - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.4

Combina i termini opposti in $x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} - 3 x - 3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.4.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{6 x + 18 + 0 - 3 x - 3 x - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.4.2

Somma $6 x + 18$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{6 x + 18 - 3 x - 3 x - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.5

Sottrai $3 x$ da $6 x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{3 x + 18 - 3 x - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.6

Combina i termini opposti in $3 x + 18 - 3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.6.1

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{0 + 18 - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.6.2

Somma $0$ e $18$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{18 - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.2.3.7

Sottrai $9$ da $18$ .

$g'' (x) = - \frac{\frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

Passaggio 2.21.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.3.1

Riscrivi $\frac{\frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$ come un prodotto.

$g'' (x) = - (\frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18})$

Passaggio 2.21.3.2

Moltiplica $\frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}$ .

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 6 x + 18)}$

Passaggio 2.21.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 6 x + 18$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.3.3.1

Moltiplica ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 6 x + 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.3.3.1.1

Eleva $x^{2} + 6 x + 18$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 6 x + 18)}$

Passaggio 2.21.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.21.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.21.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.21.3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 6 x + 18}$ come ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 6 x + 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 6 x + 18$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 6 x + 18$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

Passaggio 4.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6 x + 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 4.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 4.1.10

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 4.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 4.1.12

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 4.1.13

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 + 0)$

Passaggio 4.1.14

Somma $2 x + 6$ e $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$

Passaggio 4.1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.1

Riordina i fattori di $- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$ .

$- (2 x + 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$(- 2 x - 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.5

Moltiplica $- 2 x - 6$ per $\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x - 6}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.6

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 6}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.7

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot - 3}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.8

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (- x - 3)}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.9.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x - 3)}{2 ({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.1.15.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x - 3)}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.10

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.11

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x) - 1 (3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.12

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.13

Riscrivi $- (x + 3)$ come $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{9}{{({(- 3)}^{2} + 6 (- 3) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{9}{{(9 + 6 (- 3) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$- \frac{9}{{(9 - 18 + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$- \frac{9}{{(- 9 + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.3

Somma $- 9$ e $18$ .

$- \frac{9}{9^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{9}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.5

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9}{3^{3}}$

Passaggio 9.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{9}{27}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $9$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$- \frac{9 (1)}{27}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 10

$x = - 3$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 3$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$g (- 3) = - \sqrt{{(- 3)}^{2} + 6 (- 3) + 18}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$g (- 3) = - \sqrt{9 + 6 (- 3) + 18}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$g (- 3) = - \sqrt{9 - 18 + 18}$

Passaggio 11.2.3

Sottrai $18$ da $9$ .

$g (- 3) = - \sqrt{- 9 + 18}$

Passaggio 11.2.4

Somma $- 9$ e $18$ .

$g (- 3) = - \sqrt{9}$

Passaggio 11.2.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$g (- 3) = - \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 11.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$g (- 3) = - 1 \cdot 3$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$g (- 3) = - 3$

Passaggio 11.2.8

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $g (x) = - \sqrt{x^{2} + 6 x + 18}$ .

$(- 3, - 3)$ è un massimo locale

Passaggio 13