Calcolo Esempi

$\frac{5 x^{2}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{5 x^{2}}{x^{2} - 9}$ come funzione.

$f (x) = \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{2}}{x^{2} - 9}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

$5 \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 \frac{(x^{2} - 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 9$ .

$5 \frac{2 \cdot (x^{2} - 9) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$5 \frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 \frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 \frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$5 \frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Somma $1$ e $2$ .

$5 \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.7

$5$ e $\frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{5 (2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (2 x^{2} x) + 5 (2 \cdot - 9 x) + 5 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{5 (2 (x \cdot x^{2})) + 5 (2 \cdot - 9 x) + 5 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 (2 (x^{1} x^{2})) + 5 (2 \cdot - 9 x) + 5 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 (2 x^{1 + 2}) + 5 (2 \cdot - 9 x) + 5 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{5 (2 x^{3}) + 5 (2 \cdot - 9 x) + 5 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4.1.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{10 x^{3} + 5 (2 \cdot - 9 x) + 5 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$\frac{10 x^{3} + 5 (- 18 x) + 5 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4.1.4

Moltiplica $- 18$ per $5$ .

$\frac{10 x^{3} - 90 x + 5 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$\frac{10 x^{3} - 90 x - 10 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4.2

Combina i termini opposti in $10 x^{3} - 90 x - 10 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.4.2.1

Sottrai $10 x^{3}$ da $10 x^{3}$ .

$\frac{- 90 x + 0}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.4.2.2

Somma $- 90 x$ e $0$ .

$\frac{- 90 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{90 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.6.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{90 x}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- \frac{90 x}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Passaggio 2.1.8.6.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = - \frac{90 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 90$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{90 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 90 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}]$ .

$- 90 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}]}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}]}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica ${(x + 3)}^{2}$ per $1$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}]}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 3)}^{2}$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{2}] + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 3$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 3$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 (x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 3)}^{2}$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 \cdot {(x + 3)}^{2} (x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + 0) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) \cdot 1 + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2}])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 3$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x + 3]))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x + 3]))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 3$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 3]))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 3)}^{2}$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 \cdot {(x - 3)}^{2} (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + 0))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) \cdot 1)}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 90 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.5.3

$- 90$ e $\frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 90 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{90 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Applica la regola del prodotto a ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ .

$- \frac{90 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{90 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)) - x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{90 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) + 90 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 90 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.1

Scomponi $90 (x + 3) (x - 3)$ da $90 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} + 90 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 90 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.1.1

Scomponi $90 (x + 3) (x - 3)$ da $90 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 90 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 90 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.1.2

Scomponi $90 (x + 3) (x - 3)$ da $90 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)))$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 90 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 90 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.1.3

Scomponi $90 (x + 3) (x - 3)$ da $90 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 90 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 90 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.1.4

Scomponi $90 (x + 3) (x - 3)$ da $90 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 90 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3)))$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 90 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.1.5

Scomponi $90 (x + 3) (x - 3)$ da $90 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 90 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3)) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.1

Espandi $(x + 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x (x - 3) + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.2.2

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.3.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.5.1

Sposta $x$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.6

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.7

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.8.1

Sposta $x$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.9

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.4

Combina i termini opposti in $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.4.1

Somma $- 6 x$ e $6 x$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.4.2

Somma $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 9 - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (- 3 x^{2} - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.7

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.7.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.7.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) + 3 (- 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.7.3

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2}) + 3 (- 3)$ .

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2} - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

$- \frac{90 (x + 3) (x - 3) \cdot 3 (- x^{2} - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.8

Moltiplica $3$ per $90$ .

$- \frac{270 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{270 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{2 \cdot 2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.5.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{270 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{270 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.9.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{270 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9.5.3

Elimina il fattore comune di $x + 3$ e ${(x + 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.3.1

Scomponi $x + 3$ da $270 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)$ .

$- \frac{(x + 3) ((270 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.3.2.1

Scomponi $x + 3$ da ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 3) ((270 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Passaggio 2.2.9.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(x + 3) ((270 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Passaggio 2.2.9.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{(270 (x - 3)) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9.5.4

Elimina il fattore comune di $x - 3$ e ${(x - 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.4.1

Scomponi $x - 3$ da $270 (x - 3) (- x^{2} - 3)$ .

$- \frac{(x - 3) (270 (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.4.2.1

Scomponi $x - 3$ da ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 3) (270 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Passaggio 2.2.9.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(x - 3) (270 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Passaggio 2.2.9.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{270 (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- \frac{270 (- (x^{2}) - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.7

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$- \frac{270 (- (x^{2}) - 1 (3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$- \frac{270 (- (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.9

Riscrivi $- (x^{2} + 3)$ come $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$- \frac{270 (- 1 (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{270 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{270 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.12

Moltiplica $\frac{270 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{270 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{270 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{270 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{270 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{270 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$270 (x^{2} + 3) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $270$ ciascun termine in $270 (x^{2} + 3) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Dividi per $270$ ciascun termine in $270 (x^{2} + 3) = 0$ .

$\frac{270 (x^{2} + 3)}{270} = \frac{0}{270}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $270$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{270 (x^{2} + 3)}{270} = \frac{0}{270}$

Passaggio 3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2} + 3$ per $1$ .

$x^{2} + 3 = \frac{0}{270}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $270$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 3$

Passaggio 3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 3.3.4.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 4

Non è stato trovato alcun valore in grado di rendere la derivata seconda uguale a $0$ .

Nessun punto di flesso