Calcolo Esempi

$\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 4$ e $g (x) = x^{2} - 5 x - 36$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} - 5 x - 36$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5 x - 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.11

Somma $2 x - 5$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2

Espandi $(- x - 4) (2 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.3.2

Sottrai $8 x$ da $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 5 x - 36 - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.3

Sottrai $3 x$ da $- 5 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 36 + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.4

Somma $- 36$ e $20$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ e la cui somma è $b = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1

Scomponi $- 8$ da $- 8 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2

Riscrivi $- 8$ come $- 4$ più $- 4$ .

$\frac{- x^{2} + (- 4 - 4) x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} - 4 x) - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x - 4) + 4 (- x - 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 4$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1

Scomponi $x^{2} - 5 x - 36$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 36$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 9, 4$

Passaggio 2.1.3.4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{((x - 9) (x + 4))}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 9) (x + 4)$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (4)) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.4

Riscrivi $- (x + 4)$ come $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.5

Eleva $x + 4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} (x + 4))}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.6

Eleva $x + 4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1})}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{1 + 1}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Elimina il fattore comune di ${(x + 4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ come ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 9$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 9$ .

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ per $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

Passaggio 2.2.4.7.2

Somma $2 {(x - 9)}^{- 3}$ e $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.2.5.2

$2$ e $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 3.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Non è stato trovato alcun valore in grado di rendere la derivata seconda uguale a $0$ .

Nessun punto di flesso