Calcolo Esempi

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ come funzione.

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 2.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$- 6 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 6 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 3.5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

Imposta $- 3 - 4 \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $- 3 - 4 \cos (x)$ uguale a $0$ .

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $- 3 - 4 \cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \cos (x) = 3$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = 3$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

Passaggio 3.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

Passaggio 3.6.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

Passaggio 3.6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.4.1

Calcola $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

Passaggio 3.6.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Passaggio 3.6.2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.6.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Passaggio 3.6.2.6.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.6.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

Passaggio 3.6.2.6.2.2

Sottrai $2.4188584$ da $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

Passaggio 3.6.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.6.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.8

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il punto trovato sostituendo in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ è $(,)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(,)$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2.4188584$ in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.4188584$ nell'espressione.

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (2 (2.4188584))$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $2$ per $2.4188584$ .

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Passaggio 4.2.2.2

La risposta finale è $6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$ .

$6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Passaggio 4.3

Il punto trovato sostituendo $2.4188584$ in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ è $(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Passaggio 4.4

Sostituisci $3.8643269$ in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.8643269$ nell'espressione.

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (2 (3.8643269))$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3.8643269$ .

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Passaggio 4.4.2.2

La risposta finale è $6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$ .

$6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Passaggio 4.5

Il punto trovato sostituendo $3.8643269$ in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ è $(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Passaggio 4.6

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)), (3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty,) \cup (, 2.4188584) \cup (2.4188584, 3.8643269) \cup (3.8643269, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty,)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $1.39367782$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty,)$ .

Crescente su $(- \infty,)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(, 2.4188584)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.2094292$ nell'espressione.

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2 (1.2094292))$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $1.2094292$ .

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$ .

$- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Passaggio 7.3

Per $1.2094292$ , la derivata seconda è $- 8.25823739$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(, 2.4188584)$ .

Decrescente su $(, 2.4188584)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2.4188584, 3.8643269)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.14159265$ nell'espressione.

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Passaggio 8.2.2

La risposta finale è $- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ .

$- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $3.14159265$ , la derivata seconda è $2.44929359 E - 16$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2.4188584, 3.8643269)$ .

Crescente su $(2.4188584, 3.8643269)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3.8643269, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.9643269$ nell'espressione.

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (2 (3.9643269))$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $2$ per $3.9643269$ .

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Passaggio 9.2.2

La risposta finale è $- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$ .

$- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $3.9643269$ , la derivata seconda è $0.40919742$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(3.8643269, \infty)$ .

Crescente su $(3.8643269, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 10

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ .

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Passaggio 11