Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Passaggio 1

Scrivi $\ln (x^{2} - 4 x + 29)$ come funzione.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Passaggio 2.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 x + 29$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])$

Passaggio 2.1.2.6

Poiché $29$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $29$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + 0)$

Passaggio 2.1.2.7

Somma $2 x - 4$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $2 x - 4$ per $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi $2$ da $2 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 29}$

Passaggio 2.1.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.4.2

Moltiplica $x^{2} - 4 x + 29$ per $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 x + 29$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.9

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.10

Poiché $29$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $29$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.11.1

Somma $2 x - 4$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.11.2

$2$ e $\frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.2

Moltiplica $2$ per $29$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.4

Espandi $(- x + 2) (2 x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.5.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.5.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.5.1.6

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.5.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1.7.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.7.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.1.7.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 58 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.3

Somma $- 8 x$ e $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 58 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.3.4

Sottrai $16$ da $58$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} + 8 x + 42$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.1.2

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.1.3

Scomponi $2$ da $42$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.1.4

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ e la cui somma è $b = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.2.1.2

Riscrivi $4$ come $- 3$ più $7$ .

$\frac{2 (- x^{2} + (- 3 + 7) x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 x + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{2 ((- x^{2} - 3 x) + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 (x (- x - 3) - 7 (- x - 3))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.4.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 3$ .

$\frac{2 ((- x - 3) (x - 7))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.6

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.8

Riscrivi $- (x + 3)$ come $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.10

Riordina i fattori in $- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x + 3) (x - 7) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.3.3

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x + 3) (x - 7) = 0$ vera.

$x = - 3, 7$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 3$ in $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4 \cdot - 3 + 29)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = \ln (9 - 4 \cdot - 3 + 29)$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (9 + 12 + 29)$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $9$ e $12$ .

$f (- 3) = \ln (21 + 29)$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $21$ e $29$ .

$f (- 3) = \ln (50)$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $- 3$ in $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ è $(- 3, \ln (50))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 3, \ln (50))$

Passaggio 4.3

Sostituisci $7$ in $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f (7) = \ln ({(7)}^{2} - 4 \cdot 7 + 29)$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (7) = \ln (49 - 4 \cdot 7 + 29)$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$f (7) = \ln (49 - 28 + 29)$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sottrai $28$ da $49$ .

$f (7) = \ln (21 + 29)$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $21$ e $29$ .

$f (7) = \ln (50)$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $7$ in $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ è $(7, \ln (50))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(7, \ln (50))$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.1$ nell'espressione.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 ((- 3.1) + 3) ((- 3.1) - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 3.1$ e $3$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 \cdot (- 0.1 (- 3.1 - 7))}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{- 0.2 (- 3.1 - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2.2

Moltiplica $- 0.2$ per $- 3.1 - 7$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 + 12.4 + 29)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Somma $9.61$ e $12.4$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Somma $22.01$ e $29$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.5

Eleva $51.01$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $2.02$ per $2602.0201$ .

$f'' (- 3.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.00077631$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.00077631$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Passaggio 6.3

Per $- 3.1$ , la derivata seconda è $- 0.00077631$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 7)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = - \frac{2 ((2) + 3) ((2) - 7)}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $2$ e $3$ .

$f'' (2) = - \frac{2 \cdot (5 (2 - 7))}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f'' (2) = - \frac{10 (2 - 7)}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Sottrai $7$ da $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 8 + 29)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(- 4 + 29)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Somma $- 4$ e $29$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{25^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5

Eleva $25$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{625}$

Passaggio 7.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $10$ per $- 5$ .

$f'' (2) = - \frac{- 50}{625}$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 50$ e $625$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $25$ da $- 50$ .

$f'' (2) = - \frac{25 (- 2)}{625}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $625$ .

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Passaggio 7.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Passaggio 7.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (2) = - \frac{- 2}{25}$

Passaggio 7.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (2) = \frac{2}{25}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2$ , la derivata seconda è $0.08$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 3, 7)$ .

Crescente su $(- 3, 7)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(7, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7.1$ nell'espressione.

$f'' (7.1) = - \frac{2 ((7.1) + 3) ((7.1) - 7)}{{({(7.1)}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Somma $7.1$ e $3$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2 \cdot (10.1 (7.1 - 7))}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $10.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{20.2 (7.1 - 7)}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2.2

Moltiplica $20.2$ per $7.1 - 7$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $7.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Moltiplica $- 4$ per $7.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 28.4 + 29)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Sottrai $28.4$ da $50.41$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Somma $22.01$ e $29$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.5

Eleva $51.01$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividi $2.02$ per $2602.0201$ .

$f'' (7.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.00077631$ .

$f'' (7.1) = - 0.00077631$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Passaggio 8.3

Per $7.1$ , la derivata seconda è $- 0.00077631$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(7, \infty)$ .

Decrescente su $(7, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$ .

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Passaggio 10