Calcolo Esempi

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$0 - 2 \cos (x)$

Passaggio 1.1.2.3

Sottrai $2 \cos (x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (x) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (x) = 0$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.6.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 2 \cos (0)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (0) = - 2$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5