Calcolo Esempi

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$ come funzione.

$f (x) = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $1 + x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (1 + x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.8

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.10

Riscrivi $- (x^{2} + 2 x - 1)$ come $- 1 (x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.8

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da $- 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.12.1

Moltiplica $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ per $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Passaggio 2.2.12.2

Somma $- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ e $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) + (- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (2 x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{1 + 2} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.2

Sottrai $4 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.3

Sottrai $8 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 2 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.3.4

Somma $2 x$ e $4 x$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.2

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.3

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.4

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.6

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.4.7

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.8

Scomponi $- 1$ da $3 x$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.10

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.11

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.12

Riscrivi $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ come $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.13.15

Moltiplica $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ per $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Raggruppa i termini.

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 3.3.2.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 3.3.2.5

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

Passaggio 3.3.2.5.2

Scomponi $3 x$ da $- 3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Passaggio 3.3.2.5.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

Passaggio 3.3.2.6

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Scomponi $x - 1$ da $3 x (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

Passaggio 3.3.2.6.2

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

Passaggio 3.3.2.7

Somma $x$ e $3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Passaggio 3.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Passaggio 3.3.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.3.5

Imposta $x^{2} + 4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Imposta $x^{2} + 4 x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Passaggio 3.3.5.2

Risolvi $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.5.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.3.5.2.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ vera.

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1 + 1^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{2}{1 + 1}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \frac{2}{2}$

Passaggio 4.1.2.3

Dividi $2$ per $2$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ è $(1, 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, 1)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 2 + \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2 + \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Riscrivi ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ come $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Espandi $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Passaggio 4.3.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

Passaggio 4.3.2.2.3.2

Somma $4$ e $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.3.2.2.3.3

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 4 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Somma $1$ e $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ per $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ per $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{(8 - 4 \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{64 + 32 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4.3

Semplifica.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{16}$

Passaggio 4.3.2.4.4

Elimina il fattore comune di $8 + 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.4.1

Scomponi $4$ da $(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{16}$

Passaggio 4.3.2.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.4.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Passaggio 4.3.2.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.2.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.3.2.5

Espandi $(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.3.2.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.3.2.6.1.2

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.3.2.6.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.3.2.6.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

Passaggio 4.3.2.6.1.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}$

Passaggio 4.3.2.6.1.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

Passaggio 4.3.2.6.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Passaggio 4.3.2.6.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.3.2.6.3

Somma $- \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.3.2.7

La risposta finale è $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 2 + \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ è $(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$

Passaggio 4.5

Sostituisci $- 2 - \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2 - \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Riscrivi ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Espandi $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Passaggio 4.5.2.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Passaggio 4.5.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Passaggio 4.5.2.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.3.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Passaggio 4.5.2.2.3.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Passaggio 4.5.2.2.3.2

Somma $4$ e $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2.2.3.3

Somma $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 4 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2.2.4

Somma $1$ e $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2.3

Moltiplica $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ per $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.4.1

Moltiplica $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ per $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{(8 + 4 \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}$

Passaggio 4.5.2.4.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{64 - 32 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.5.2.4.3

Semplifica.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{16}$

Passaggio 4.5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $8 - 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.4.4.1

Scomponi $4$ da $(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{16}$

Passaggio 4.5.2.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.4.4.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Passaggio 4.5.2.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Passaggio 4.5.2.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.5

Espandi $(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.2

Moltiplica $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.6.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.2.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.6.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.6.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.5.2.6.3

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.5.2.7

La risposta finale è $\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $- 2 - \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ è $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, 1), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{3}) \cup (- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3}) \cup (- 2 + \sqrt{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.8320508$ nell'espressione.

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 ({(- 3.8320508)}^{3} + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 3.8320508$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 3.8320508$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 \cdot 14.68461339 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $3$ per $14.68461339$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 3.8320508$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.5

Somma $- 56.2721846$ e $44.05384017$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 12.21834443 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.6

Somma $- 12.21834443$ e $11.49615242$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 0.722192 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.7

Sottrai $1$ da $- 0.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 3.8320508$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{(14.68461339 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $14.68461339$ e $1$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{15.68461339}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $15.68461339$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{3858.526212}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{- 3.44438401}{3858.526212}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $- 3.44438401$ per $3858.526212$ .

$f'' (- 3.8320508) = - 0.00089266$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.00089266$ .

$- 0.00089266$

Passaggio 6.3

Per $- 3.8320508$ , la derivata seconda è $- 0.00089266$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.5

Somma $- 8$ e $12$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (4 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.6

Somma $4$ e $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (10 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.7

Sottrai $1$ da $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{(4 + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{5^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{125}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f'' (- 2) = \frac{18}{125}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $18$ per $125$ .

$f'' (- 2) = 0.144$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $0.144$ .

$0.144$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 2$ , la derivata seconda è $0.144$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ .

Crescente su $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.3660254$ nell'espressione.

$f'' (0.3660254) = \frac{2 ({(0.3660254)}^{3} + 3 {(0.3660254)}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({(0.3660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.3660254$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot {0.3660254}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $0.3660254$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot 0.13397459 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $3$ per $0.13397459$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0.3660254$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.5

Somma $0.0490381$ e $0.40192378$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.45096189 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.6

Sottrai $1.09807621$ da $0.45096189$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (- 0.64711431 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.7

Sottrai $1$ da $- 0.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $0.3660254$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{(0.13397459 + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $0.13397459$ e $1$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{1.13397459}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $1.13397459$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{1.4581761}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{- 3.29422863}{1.4581761}$

Passaggio 8.2.3.2

Dividi $- 3.29422863$ per $1.4581761$ .

$f'' (0.3660254) = - 2.2591432$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 2.2591432$ .

$- 2.2591432$

Passaggio 8.3

Per $0.3660254$ , la derivata seconda è $- 2.2591432$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ .

Decrescente su $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = \frac{2 ({(1.1)}^{3} + 3 {(1.1)}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot {1.1}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.2

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot 1.21 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $3$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.5

Somma $1.331$ e $3.63$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (4.961 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.6

Sottrai $3.3$ da $4.961$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.661 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.7

Sottrai $1$ da $1.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{(1.21 + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $1.21$ e $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{2.21}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $2.21$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{10.793861}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{1.322}{10.793861}$

Passaggio 9.2.3.2

Dividi $1.322$ per $10.793861$ .

$f'' (1.1) = 0.12247702$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $0.12247702$ .

$0.12247702$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $1.1$ , la derivata seconda è $0.12247702$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 10

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$ .

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$

Passaggio 11