Calcolo Esempi

$y = \frac{2 - v^{2}}{2 + v^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ è $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ dove $f (v) = 2 - v^{2}$ e $g (v) = 2 + v^{2}$ .

$\frac{(2 + v^{2}) \frac{d}{d v} [2 - v^{2}] - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - v^{2}$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $2$ rispetto a $v$ è $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- v^{2}$ rispetto a $v$ è $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - (2 v)) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Sottrai $2 v$ da $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + v^{2}$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $2$ rispetto a $v$ è $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + 2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.5

Somma $0$ e $2 v$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 1 \cdot 2 - - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4 v + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 4 v - 2 v^{2} v - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3

Moltiplica $v^{2}$ per $v$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.4.1.3.1

Sposta $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3.2

Moltiplica $v$ per $v^{2}$ .

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Passaggio 5.4.1.3.2.1

Eleva $v$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 v - 2 v^{1 + 2} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6

Moltiplica $v^{2}$ per $v$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.4.1.6.1

Sposta $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v \cdot v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.2

Moltiplica $v$ per $v^{2}$ .

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Passaggio 5.4.1.6.2.1

Eleva $v$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v^{1} v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.7

Moltiplica $- - v^{3}$ .

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Passaggio 5.4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 1 v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.7.2

Moltiplica $v^{3}$ per $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.8

Sposta $2$ alla sinistra di $v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Combina i termini opposti in $- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}$ .

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Passaggio 5.4.2.1

Somma $- 2 v^{3}$ e $2 v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 4 v + 0}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Somma $- 4 v - 4 v$ e $0$ .

$\frac{- 4 v - 4 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Sottrai $4 v$ da $- 4 v$ .

$\frac{- 8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$