Calcolo Esempi

$x^{2} + y^{2} = {(2 x^{2} + 4 y^{2} - x)}^{2}$ , $(0, 0.25)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 0.25$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{2} + 4 y^{2} - x)}^{2})$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Passaggio 1.2.3

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - 1)$

Passaggio 1.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (2 x^{2}) + 2 (4 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Passaggio 1.3.9.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(4 x^{2} + 2 (4 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Passaggio 1.3.9.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$(4 x^{2} + 8 y^{2} + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Passaggio 1.3.9.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x) (4 x + 8 y y' - 1)$

Passaggio 1.3.9.3

Riordina i fattori di $(4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x) (4 x + 8 y y' - 1)$ .

$(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 2 x = (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica $(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi.

$2 y y' + 2 x = 0 + 0 + (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Passaggio 1.5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$2 y y' + 2 x = (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Passaggio 1.5.1.3

Espandi $(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 y y' + 2 x = 4 x (4 x^{2}) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 (x^{2} x) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x^{2 + 1} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x^{3} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 4 \cdot 8 x y^{2} + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.5

Moltiplica $4$ per $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 x \cdot x + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1.7.1

Sposta $x$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 (x \cdot x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 x^{2} + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.8

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.9

Moltiplica $4$ per $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.10

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1.10.1

Sposta $y^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 (y^{2} y) y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.10.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1.10.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y^{2 + 1} y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.11

Moltiplica $8$ per $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.12

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.13

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.14

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 8 y^{2} - 1 (- 2 x)$

Passaggio 1.5.1.4.1.15

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 8 y^{2} + 2 x$

Passaggio 1.5.1.4.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $- 8 x^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x$

Passaggio 1.5.2

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x = 2 y y' + 2 x$

Passaggio 1.5.3

Sottrai $2 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x$

Passaggio 1.5.4

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sottrai $16 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3}$

Passaggio 1.5.4.2

Sottrai $32 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.3

Somma $12 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2}$

Passaggio 1.5.4.4

Somma $8 y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Passaggio 1.5.4.5

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x$

Passaggio 1.5.4.6

Combina i termini opposti in $2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.6.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} + 0$

Passaggio 1.5.4.6.2

Somma $- 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ e $0$ .

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Passaggio 1.5.5

Scomponi $2 y y'$ da $32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Scomponi $2 y y'$ da $32 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Passaggio 1.5.5.2

Scomponi $2 y y'$ da $64 y^{3} y'$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Passaggio 1.5.5.3

Scomponi $2 y y'$ da $- 16 y y' x$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Passaggio 1.5.5.4

Scomponi $2 y y'$ da $- 2 y y'$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Passaggio 1.5.5.5

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2})$ .

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Passaggio 1.5.5.6

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x)$ .

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Passaggio 1.5.5.7

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Passaggio 1.5.6

Dividi per $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Dividi per $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ .

$\frac{2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.2.3

Elimina il fattore comune di $16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.6.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 16 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 8 x^{3})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 8 x^{3})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.6.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 32 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (- 16 x y^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (- 16 x y^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.6.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 16 x y^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.4

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.4.1

Scomponi $y$ da $- 16 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{y (- 16 x y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.6.3.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.6

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.6.1

Scomponi $2$ da $12 x^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{2 (6 x^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{2 (6 x^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.6.3.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.7

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.7.1

Scomponi $2$ da $8 y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (4 y^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.7.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (4 y^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))}$

Passaggio 1.5.6.3.1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.6.3.1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.8

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.8.1

Scomponi $y$ da $4 y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{y (4 y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1.8.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.6.3.1.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.2

Per scrivere $- \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} \cdot \frac{y}{y} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.3.1

Moltiplica $\frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y \cdot y}{(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.3.2

Riordina i fattori di $(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 8 x^{3} - 16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.5.1

Scomponi $8 x$ da $- 8 x^{3} - 16 x y \cdot y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.5.1.1

Scomponi $8 x$ da $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2}) - 16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.5.1.2

Scomponi $8 x$ da $- 16 x y \cdot y$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2}) + 8 x (- 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.5.1.3

Scomponi $8 x$ da $8 x (- x^{2}) + 8 x (- 2 y \cdot y)$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.5.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.5.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 (y^{1} y))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.5.2.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 (y^{1} y^{1}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.5.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{1 + 1})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{2}) + 6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.7.1

Scomponi $2 x$ da $8 x (- x^{2} - 2 y^{2}) + 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.7.1.1

Scomponi $2 x$ da $8 x (- x^{2} - 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.7.1.2

Scomponi $2 x$ da $6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 2 x (3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.7.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 2 x (3 x)$ .

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2}) + 4 (- 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.7.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} + 4 (- 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.7.4

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Passaggio 1.5.6.3.8

Per scrivere $\frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 1.5.6.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.9.1

Moltiplica $\frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y \cdot y}{(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y}$

Passaggio 1.5.6.3.9.2

Riordina i fattori di $(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.11.1

Scomponi $2$ da $2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 4 y \cdot y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.11.1.1

Scomponi $2$ da $2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)$ .

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.1.2

Scomponi $2$ da $4 y \cdot y$ .

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 2 (2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 2 (2 y \cdot y)$ .

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2}) + x (- 8 y^{2}) + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.11.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} + x (- 8 y^{2}) + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} - 8 x y^{2} + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.11.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.11.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 4 (x^{2} x) - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.11.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{2 (- 4 (x^{2} x^{1}) - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{2 (- 4 x^{2 + 1} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.4.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.11.4.2.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 (x \cdot x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.11.5.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 (y \cdot y))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.11.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.12

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.12.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3}) - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.12.2

Scomponi $- 1$ da $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3}) - (8 x y^{2}) + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.12.3

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{3}) - (8 x y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.12.4

Scomponi $- 1$ da $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) - (- 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.12.5

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.12.6

Scomponi $- 1$ da $2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) - (- 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.12.7

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) - (- 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.12.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.12.8.1

Riscrivi $- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})$ come $- 1 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.5.6.3.12.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 0$ e $y = 0.25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$- \frac{2 (4 {(0)}^{3} + 8 (0) \cdot y^{2} - 3 {(0)}^{2} - 2 y^{2})}{y (16 {(0)}^{2} + 32 y^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $0.25$ nell'espressione.

$- \frac{2 (4 {(0)}^{3} + 8 (0) \cdot {(0.25)}^{2} - 3 {(0)}^{2} - 2 {(0.25)}^{2})}{(0.25) (16 {(0)}^{2} + 32 {(0.25)}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (4 \cdot 0 + 8 (0) \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{2 (0 + 8 (0) \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.3

Moltiplica $8$ per $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.4

Eleva $0.25$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (0 + 0 \cdot 0.0625 - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.5

Moltiplica $0$ per $0.0625$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.7

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.8

Eleva $0.25$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 2 \cdot 0.0625)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.9

Moltiplica $- 2$ per $0.0625$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.10

Somma $0$ e $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.11

Somma $0$ e $0$ .

$- \frac{2 (0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.3.12

Sottrai $0.125$ da $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 0.125}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica moltiplicando i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $0.25$ per $16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1$ .

$- \frac{2 \cdot - 0.125}{0.25}$

Passaggio 1.7.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 0.125$ .

$- \frac{- 0.25}{0.25}$

Passaggio 1.7.4.2.2

Dividi $- 0.25$ per $0.25$ .

$- - 1$

Passaggio 1.7.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(0, 0.25)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0.25) = 1 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 0.25 = 1 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $1 \cdot (x + 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x + 0$ per $1$ .

$y - 0.25 = x + 0$

Passaggio 2.3.1.2

Somma $x$ e $0$ .

$y - 0.25 = x$

Passaggio 2.3.2

Somma $0.25$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = x + 0.25$

Passaggio 3