Calcolo Esempi

$y = 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 16$

Passaggio 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $x$ per $16$ .

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = 3 {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 3 \cdot 4^{1} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.4

Calcola l'esponente.

$y = 3 \cdot 4 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.5

Moltiplica $3$ per $4$ .

$y = 12 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.6

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = 12 + {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 1.2.4.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 1.2.4.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 12 + 4^{3}$

Passaggio 1.2.4.1.9

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$y = 12 + 64$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $12$ e $64$ .

$y = 76$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 16$ e $y = 76$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.9

$3$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Passaggio 2.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Passaggio 2.3.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.2

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.1.4

Calcola l'esponente.

$\frac{3 \cdot 4}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.3

Dividi $12$ per $2$ .

$6 + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

Passaggio 2.6.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 + \frac{3}{2^{1 + 2}}$

Passaggio 2.6.1.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$6 + \frac{3}{2^{3}}$

Passaggio 2.6.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$6 + \frac{3}{8}$

Passaggio 2.6.2

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Passaggio 2.6.3

$6$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Passaggio 2.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 \cdot 8 + 3}{8}$

Passaggio 2.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Moltiplica $6$ per $8$ .

$\frac{48 + 3}{8}$

Passaggio 2.6.5.2

Somma $48$ e $3$ .

$\frac{51}{8}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{51}{8}$ e un punto dato $(16, 76)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (76) = \frac{51}{8} \cdot (x - (16))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{51}{8} \cdot (x - 16)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 76 = 0 + 0 + \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 76 = \frac{51}{8} x + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Passaggio 3.3.1.4

$\frac{51}{8}$ e $x$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Passaggio 3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Scomponi $8$ da $- 16$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 (- 2))$

Passaggio 3.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + 51 \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $51$ per $- 2$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} - 102$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $76$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{51 x}{8} - 102 + 76$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 102$ e $76$ .

$y = \frac{51 x}{8} - 26$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{51}{8} x - 26$

Passaggio 4