Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{2} x)$ , $(2, \frac{π}{12})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = \frac{π}{12}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{1}{2} x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{2} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Passaggio 1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 1.3.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 1.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ .

$\frac{1}{2 (3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ per $1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 1.4.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{4}}$

Passaggio 1.4.3.3

$6$ e $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{4}}$

Passaggio 1.4.3.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.4.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{4}}$

Passaggio 1.4.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2)}}$

Passaggio 1.4.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.4.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6 + \frac{3 x^{2}}{2}}$

Passaggio 1.4.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{\frac{3 x^{2}}{2} + 6}$

Passaggio 1.4.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Scomponi $3$ da $\frac{3 x^{2}}{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1.1

Scomponi $3$ da $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 6}$

Passaggio 1.4.5.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.5.1.3

Scomponi $3$ da $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2)}$

Passaggio 1.4.5.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}$

Passaggio 1.4.5.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}$

Passaggio 1.4.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.4.5.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 4}{2}}$

Passaggio 1.4.6

$3$ e $\frac{x^{2} + 4}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{3 (x^{2} + 4)}{2}}$

Passaggio 1.4.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

Passaggio 1.4.8

Moltiplica $\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$ per $1$ .

$\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{2}{3 ({(2)}^{2} + 4)}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2}{3 (4 + 4)}$

Passaggio 1.6.1.2

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8}$

Passaggio 1.6.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{2}{24}$

Passaggio 1.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{24}$

Passaggio 1.6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Passaggio 1.6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Passaggio 1.6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{12}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{12}$ e un punto dato $(2, \frac{π}{12})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{12}) = \frac{1}{12} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{12} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{π}{12} = 0 + 0 + \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{12} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{12}$ e $x$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 (6)} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{6} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{1}{6}$ e $- 1$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 1}{6}$

Passaggio 2.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} - \frac{1}{6}$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{π}{12}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} + \frac{π}{12}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per scrivere $- \frac{1}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{12}$

Passaggio 2.3.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{12}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{12} + \frac{π}{12}$

Passaggio 2.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 2 + π}{12}$

Passaggio 2.3.3.4

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) + π}{12}$

Passaggio 2.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $π$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{12}$

Passaggio 2.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2 - π)}{12}$

Passaggio 2.3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2 - π}{12}$

Passaggio 2.3.3.8

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{12} x - \frac{2 - π}{12}$

Passaggio 3