Calcolo Esempi

$6 \cos^{4} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $6 \cos^{4} (x)$ come funzione.

$f (x) = 6 \cos^{4} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \cos^{4} (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = 6 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$f' (x) = 24 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.1.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 24 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$f' (x) = - 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $\cos^{3} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Imposta $\cos^{3} (x)$ uguale a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $\cos^{3} (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\cos (x) = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.3.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.3.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.3.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.3.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.3.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.4

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 3.4.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.4.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.4.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 6 \cos^{4} (x)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π n}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π n}{2} - 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Passaggio 6.4

In corrispondenza di $x = \frac{π n}{2} - 1$ la derivata è $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π n}{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π n}{2}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π n}{2} + 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Passaggio 7.4

In corrispondenza di $x = \frac{π n}{2} + 1$ la derivata è $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{π n}{2}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Passaggio 9