Calcolo Esempi

$\frac{- x^{2} - 16}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{- x^{2} - 16}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{- x^{2} - 16}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - x^{2} - 16$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- x^{2} - 16] - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$\frac{x (- 2 x) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{1 + 1} - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 16) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 16)}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} - - x^{2} - - 16}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.2.1.1

Moltiplica $- - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1 x^{2} - - 16}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.9.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} - - 16}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} + 16}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.9.2.2

Somma $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 16}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.9.3.2

Riordina $- x^{2}$ e $4^{2}$ .

$\frac{4^{2} - x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.9.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$ .

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(4 + x) (4 - x) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $4 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Imposta $4 + x$ uguale a $0$ .

$4 + x = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.3.3

Imposta $4 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $4 - x$ uguale a $0$ .

$4 - x = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $4 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 3.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 + x) (4 - x) = 0$ vera.

$x = - 4, 4$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 4, 4$ .

$- 4, 4$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = \frac{(4 - 5) (4 - (- 5))}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (- 5) = \frac{(4 - 5) (4 - (- 5))}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $5$ da $4$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 (4 - (- 5))}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 (4 + 5)}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Somma $4$ e $5$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot 9}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot 9}{25}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f' (- 5) = \frac{- 9}{25}$

Passaggio 7.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 5) = - \frac{9}{25}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{9}{25}$ .

$- \frac{9}{25}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 5$ la derivata è $- \frac{9}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 4)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{(4 - 2) (4 - (- 2))}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (- 2) = \frac{(4 - 2) (4 - (- 2))}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $2$ da $4$ .

$f' (- 2) = \frac{2 (4 - (- 2))}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 (4 + 2)}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Somma $4$ e $2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot 6}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot 6}{4}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{4}$

Passaggio 8.2.3.3

Dividi $12$ per $4$ .

$f' (- 2) = 3$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $3$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 4, 0)$ .

Crescente su $(- 4, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{(4 + 2) (4 - (2))}{{(2)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (2) = \frac{(4 + 2) (4 - (2))}{{(2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Somma $4$ e $2$ .

$f' (2) = \frac{6 (4 - (2))}{2^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{6 (4 - 2)}{2^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Sottrai $2$ da $4$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 2}{2^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 2}{4}$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{12}{4}$

Passaggio 9.2.3.3

Dividi $12$ per $4$ .

$f' (2) = 3$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $3$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 4)$ .

Crescente su $(0, 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \frac{(4 + 5) (4 - (5))}{{(5)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (5) = \frac{(4 + 5) (4 - (5))}{{(5)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Somma $4$ e $5$ .

$f' (5) = \frac{9 (4 - (5))}{5^{2}}$

Passaggio 10.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (5) = \frac{9 (4 - 5)}{5^{2}}$

Passaggio 10.2.2.3

Sottrai $5$ da $4$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot - 1}{5^{2}}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot - 1}{25}$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$f' (5) = \frac{- 9}{25}$

Passaggio 10.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (5) = - \frac{9}{25}$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $- \frac{9}{25}$ .

$- \frac{9}{25}$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- \frac{9}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 4, 0), (0, 4)$

Decrescente su: $(- \infty, - 4), (4, \infty)$

Passaggio 12