Calcolo Esempi

$\frac{4 t}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{4 t}{t^{2} + 1}$ come funzione.

$f (t) = \frac{4 t}{t^{2} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{4 t}{t^{2} + 1}$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = t^{2} + 1$ .

$4 \frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $t^{2} + 1$ per $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.8

Sottrai $2 t^{2}$ da $t^{2}$ .

$4 \frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.9

$4$ e $\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- t^{2} + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- t^{2}) + 4 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 t^{2} + 4 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.10.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (t) = \frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 4 t^{2} + 4 = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 t^{2} = - 4$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 t^{2} = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 t^{2} = - 4$ .

$\frac{- 4 t^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 t^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$t^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 4$ .

$t^{2} = 1$

Passaggio 3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$t = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$t = \pm 1$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$t = 1$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$t = - 1$

Passaggio 3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$t = 1, - 1$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1, - 1$ .

$1, - 1$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $t$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{2} + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4 + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 16 + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $- 16$ e $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{{(4 + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{5^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{25}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{12}{25}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{12}{25}$ .

$- \frac{12}{25}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $t = - 2$ la derivata è $- \frac{12}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (t) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{- 4 {(0)}^{2} + 4}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4 \cdot 0 + 4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $0$ e $4$ .

$f' (0) = \frac{4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{4}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{4}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (0) = \frac{4}{1}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $4$ per $1$ .

$f' (0) = 4$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $t = 0$ la derivata è $4$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, 1)$ .

Crescente su $(- 1, 1)$ perché $f' (t) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $t$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{2} + 4}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{- 4 \cdot 4 + 4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f' (2) = \frac{- 16 + 4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Somma $- 16$ e $4$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{{(4 + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{5^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{25}$

Passaggio 8.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (2) = - \frac{12}{25}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- \frac{12}{25}$ .

$- \frac{12}{25}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $t = 2$ la derivata è $- \frac{12}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f' (t) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 1, 1)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Passaggio 10