Calcolo Esempi

$\ln (\sin^{2} (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i fattori di $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cos (x) \sin (x))$

Passaggio 4.2

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\sin (x) (2 \cos (x)))$

Passaggio 4.3

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Passaggio 4.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sin (2 x)$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (2 x)$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Passaggio 5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.6

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ e $\sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 5.7.1

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.7.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 5.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 5.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 5.8

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 5.9

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Passaggio 5.10

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \cot (x)$