Calcolo Esempi

$z = w^{\frac{3}{2}} (w + c e^{w})$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questa derivata usando la regola della catena. Mathway userà un altro metodo.

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ è $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ dove $f (w) = w^{\frac{3}{2}}$ e $g (w) = w + c e^{w}$ .

$w^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w + c e^{w}] + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $w + c e^{w}$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]$ .

$w^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 3.3

Poiché $c$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $c e^{w}$ rispetto a $w$ è $c \frac{d}{d w} [e^{w}]$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d w} [e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ è $a^{w} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10

$\frac{3}{2}$ e $w^{\frac{1}{2}}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $w^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.3.2

$w$ e $\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w (3 w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.3.3

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 (w^{1} w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.3.7

Somma $2$ e $1$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.3.8

$\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $c$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{w}$

Passaggio 11.3.9

$\frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2}$ e $e^{w}$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Passaggio 11.3.10

Per scrivere $w^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Passaggio 11.3.11

$w^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Passaggio 11.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Passaggio 11.3.13

Sposta $2$ alla sinistra di $w^{\frac{3}{2}}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{2 \cdot w^{\frac{3}{2}} + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Passaggio 11.3.14

Somma $2 w^{\frac{3}{2}}$ e $3 w^{\frac{3}{2}}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Passaggio 11.4

Riordina i termini.

$e^{w} w^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2}$