Calcolo Esempi

$y = \ln (| 1 + t - t^{3} |)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = | 1 + t - t^{3} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $| 1 + t - t^{3} |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $| 1 + t - t^{3} |$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = | t |$ e $g (t) = 1 + t - t^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $| u_{2} |$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t - t^{3}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{3}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}]))$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - (3 t^{2})))$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2}))$

Passaggio 3.7.2

Riordina i fattori di $\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2})$ .

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} ((1 - 3 t^{2}) \frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |})$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |}$ per $\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |}$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} | | 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2})$

Passaggio 4.1.2

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| (1 + t - t^{3}) (1 + t - t^{3}) |} (1 - 3 t^{2})$

Passaggio 4.1.3

Eleva $1 + t - t^{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1} (1 + t - t^{3}) |} (1 - 3 t^{2})$

Passaggio 4.1.4

Eleva $1 + t - t^{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1} {(1 + t - t^{3})}^{1} |} (1 - 3 t^{2})$

Passaggio 4.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1 + 1} |} (1 - 3 t^{2})$

Passaggio 4.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori di $\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$ .

$(1 - 3 t^{2}) \frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |}$