Calcolo Esempi

$\frac{d^{3}}{d x^{3}} \sin^{3} (x)$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questa derivata usando la regola della catena. Mathway userà un altro metodo.

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $\sin (x)$ .

$3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin^{3} (x)$ .

$3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $- 1 \sin^{3} (x)$ come $- \sin^{3} (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Passaggio 3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

Passaggio 3.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x))$

Passaggio 3.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x))$

Passaggio 3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

Passaggio 3.12

Somma $1$ e $1$ .

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Passaggio 3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Passaggio 3.13.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Passaggio 3.13.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.13.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

Passaggio 4

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos^{2} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$6 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.6.2

Somma $2$ e $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.8

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.11

Somma $1$ e $1$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 \cos^{3} (x) + 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$6 \cos^{3} (x) - 12 (\cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 4.4.2.2

Riordina i fattori di $- 12 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos^{3} (x) - 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 4.4.2.3

Sottrai $9 \sin^{2} (x) \cos (x)$ da $- 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$6 \cos^{3} (x) - 21 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 4.4.3

Riordina i termini.

$f''' (x) = - 21 \sin^{2} (x) \cos (x) + 6 \cos^{3} (x)$