Calcolo Esempi

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Passaggio 2.1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 2.1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.1.2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Passaggio 2.1.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Passaggio 5.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Passaggio 5.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Passaggio 5.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Passaggio 5.2.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.8

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 2$ e $0$ .

$f'' (0) = - 2 - 2$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f'' (0) = - 4$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6