Calcolo Esempi

$\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ come funzione.

$f (x) = \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} - x - 6}]$

Passaggio 2.1.1.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{2} - x - 6}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$

Passaggio 2.1.1.1.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} - x - 6}$ come ${(x^{2} - x - 6)}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Passaggio 2.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (- {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 ({(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Passaggio 2.1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.1.1.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.1.1.3.7

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + 0)$

Passaggio 2.1.1.3.8

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

$2$ e $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Passaggio 2.1.1.5.2

Riordina i fattori di $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$ .

$f' (x) = (2 x - 1) \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x - 1$ e $g (x) = \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]$ .

$(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $2 x - 1$ .

$2 \cdot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ come ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.2.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 2}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x^{2} - x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.4.7

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + 0)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.4.8

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.5

Eleva $2 x - 1$ alla potenza di $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1)) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.6

Eleva $2 x - 1$ alla potenza di $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1}) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 {(2 x - 1)}^{1 + 1} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 2.1.2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.1.2.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.1.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.1.2.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.1.2.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + 0)$

Passaggio 2.1.2.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.14.1

Somma $2$ e $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 2.1.2.14.2

$\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ e $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.14.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.15

Per scrivere $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.16

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ e $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.18

Moltiplica ${(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ per ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.18.1

Sposta ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} ({(x^{2} - x - 6)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}) + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.18.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{2 - 3} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.18.3

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 1} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.1

Riscrivi ${(2 x - 1)}^{2}$ come $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{- 4 ((2 x - 1) (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.2

Espandi $(2 x - 1) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 4 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.5.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.5.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.5.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.6

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.6.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.7

Moltiplica $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ per $\frac{1}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{\frac{- 16 x^{2} + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.1

Scomponi $4$ da $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.1.1

Scomponi $4$ da $- 16 x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.1.2

Scomponi $4$ da $16 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.1.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.1.4

Scomponi $4$ da $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ e la cui somma è $b = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + (2 + 2) x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 2 x + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{\frac{4 ((- 4 x^{2} + 2 x) + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{\frac{4 (2 x (- 2 x + 1) - (- 2 x + 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 x + 1$ .

$\frac{\frac{4 ((- 2 x + 1) (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

$\frac{\frac{4 (- 2 x + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x) + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3.4

Riscrivi $- (2 x - 1)$ come $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- 1 (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3.5

Eleva $2 x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3.6

Eleva $2 x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1})}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{1 + 1}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.8.3.9

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4 \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3

$4$ e $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.1

Scomponi $4$ da $- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 (x - 3) (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 {(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 (x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.1.2

Scomponi $4$ da $4 (x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.1.3

Scomponi $4$ da $4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.2

Riscrivi ${(2 x - 1)}^{2}$ come $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- ((2 x - 1) (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.3

Espandi $(2 x - 1) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.4.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 4 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.6.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.6.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.7

Espandi $(x - 3) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x (x + 2) - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.5.8.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.8.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.8.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 x - 3 x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.8.2

Sottrai $3 x$ da $2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.9

Somma $- 4 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 4 x - 1 - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.10

Sottrai $x$ da $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 1 - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.5.11

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.7

Scomponi $- 1$ da $3 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) - (- 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.9

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.10

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.11

Riscrivi $- (3 x^{2} - 3 x + 7)$ come $- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7)$ .

$\frac{\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.3.1

Riscrivi $\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ come un prodotto.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.19.3.2

Moltiplica $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ per $\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x^{2} - x - 6)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Passaggio 2.1.2.19.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.4.1

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 2.1.2.19.4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{((x - 3) (x + 2))}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Passaggio 2.1.2.19.4.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 3) (x + 2)$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Passaggio 2.1.2.19.4.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.4.3.1

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 2.1.2.19.4.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 2.1.2.19.4.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 2.1.2.19.4.3.4

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2})}$

Passaggio 2.1.2.19.4.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{1 + 2}}$

Passaggio 2.1.2.19.4.3.6

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.3.1.2.1.2

Dividi $3 x^{2} - 3 x + 7$ per $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 3$ e $c = 7$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.3

Sottrai $84$ da $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.4

Riscrivi $- 75$ come $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (75)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.2.3.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.3

Sottrai $84$ da $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.4

Riscrivi $- 75$ come $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (75)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.2.3.5.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.2.3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.6.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.3

Sottrai $84$ da $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.4

Riscrivi $- 75$ come $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (75)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.6.1.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.2.3.6.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.2.3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 3.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 3.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.2.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.2.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 3, - 2$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 2, 3}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 2, 3}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = - \frac{4 (3 {(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 7)}{{((- 4) - 3)}^{3} {((- 4) + 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (3 \cdot 16 - 3 \cdot - 4 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (48 - 3 \cdot - 4 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (48 + 12 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.4

Somma $48$ e $12$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (60 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.5

Somma $60$ e $7$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $3$ da $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{{(- 7)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 4$ e $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{{(- 7)}^{3} {(- 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $- 7$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{- 343 {(- 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{- 343 \cdot - 8}$

Passaggio 5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $4$ per $67$ .

$f'' (- 4) = - \frac{268}{- 343 \cdot - 8}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $- 343$ per $- 8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{268}{2744}$

Passaggio 5.2.3.3

Elimina il fattore comune di $268$ e $2744$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Scomponi $4$ da $268$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (67)}{2744}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $2744$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{4 \cdot 686}$

Passaggio 5.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{4 \cdot 686}$

Passaggio 5.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 4) = - \frac{67}{686}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \frac{67}{686}$ .

$- \frac{67}{686}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (- 4)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 2, 3)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{4 (3 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 7)}{{((0) - 3)}^{3} {((0) + 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (3 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 - 3 \cdot 0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 + 0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.5

Somma $0$ e $7$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $3$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{{(- 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{{(- 3)}^{3} \cdot 2^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{- 27 \cdot 2^{3}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{- 27 \cdot 8}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $4$ per $7$ .

$f'' (0) = - \frac{28}{- 27 \cdot 8}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 27$ per $8$ .

$f'' (0) = - \frac{28}{- 216}$

Passaggio 6.2.3.3

Elimina il fattore comune di $28$ e $- 216$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (7)}{- 216}$

Passaggio 6.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 216$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 54}$

Passaggio 6.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 54}$

Passaggio 6.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = - \frac{7}{- 54}$

Passaggio 6.2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = \frac{7}{54}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{7}{54}$ .

$\frac{7}{54}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 2, 3)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 2, 3)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f'' (6) = - \frac{4 (3 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 + 7)}{{((6) - 3)}^{3} {((6) + 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (3 \cdot 36 - 3 \cdot 6 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $36$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (108 - 3 \cdot 6 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (108 - 18 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.4

Sottrai $18$ da $108$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (90 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.5

Somma $90$ e $7$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $3$ da $6$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{3^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $6$ e $2$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{3^{3} \cdot 8^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{27 \cdot 8^{3}}$

Passaggio 7.2.2.4

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{27 \cdot 512}$

Passaggio 7.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $4$ per $97$ .

$f'' (6) = - \frac{388}{27 \cdot 512}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $27$ per $512$ .

$f'' (6) = - \frac{388}{13824}$

Passaggio 7.2.3.3

Elimina il fattore comune di $388$ e $13824$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.3.1

Scomponi $4$ da $388$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (97)}{13824}$

Passaggio 7.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $13824$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{4 \cdot 3456}$

Passaggio 7.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{4 \cdot 3456}$

Passaggio 7.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (6) = - \frac{97}{3456}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{97}{3456}$ .

$- \frac{97}{3456}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(3, \infty)$ perché $f'' (6)$ è negativo.

Funzione concava su $(3, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 2, 3)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(3, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 9