Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1} (9 x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan^{-1} (9 x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan^{-1} (9 x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $9 x$ con $t$ e lascia che $t$ tenda a $0$ , poiché $lim_{x \to 0} 9 x = 0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \tan^{-1} (t)}$

Passaggio 1.3.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{0}{\tan^{-1} (0)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il valore esatto di $\tan^{-1} (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1} (9 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (9 x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (9 x)]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (9 x)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan^{-1} (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\tan^{-1} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(9 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.4

Scomponi $9$ da $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(9 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.5

Applica la regola del prodotto a $9 (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 9^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.6

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.7

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 81 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.8

$9$ e $\frac{1}{1 + 81 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{9}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{9}{1 + 81 x^{2}} \cdot 1}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $\frac{9}{1 + 81 x^{2}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{9}{1 + 81 x^{2}}}$

Passaggio 3.11

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{9}{81 x^{2} + 1}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{81 x^{2} + 1}{9}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{81 x^{2} + 1}{9}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{81 x^{2} + 1}{9}$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $\frac{1}{9}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} 81 x^{2} + 1$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{9} (lim_{x \to 0} 81 x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Passaggio 5.4

Sposta il termine $81$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{9} (81 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Passaggio 5.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{9} (81 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Passaggio 5.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{9} (81 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{9} (81 \cdot 0^{2} + 1)$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{9} (81 \cdot 0 + 1)$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $81$ per $0$ .

$\frac{1}{9} (0 + 1)$

Passaggio 7.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 1$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$\frac{1}{9}$