Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + 8 x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + 8 x)}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (e^{x} + 8 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + 8 x)}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + 8 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{\frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + 8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + 8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.6.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.6.1.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.6.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + 8 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + 8 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + 8 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + 8 x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} + 8 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} + 8 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + 8 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + 8 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $8$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + 8)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.3.8.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + 8)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 8) \frac{1}{e^{x} + 8 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.8.2

Moltiplica $e^{x} + 8$ per $\frac{1}{e^{x} + 8 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x}}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x}}$

Passaggio 4.3

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x}}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x}}$

Passaggio 4.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 8 x}}$

Passaggio 4.6

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 8}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8 x}}$

Passaggio 4.7

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 8}{e^{lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 8}{e^{lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 8}{e^{0} + 8 lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 8}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Riscrivi $e^{0}$ come ${(e^{0})}^{3}$ .

$e^{\frac{{(e^{0})}^{3} + 8}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$e^{\frac{{(e^{0})}^{3} + 2^{3}}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = e^{0}$ e $b = 2$ .

$e^{\frac{(e^{0} + 2) ({(e^{0})}^{2} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{\frac{(1 + 2) ({(e^{0})}^{2} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.2

Somma $1$ e $2$ .

$e^{\frac{3 ({(e^{0})}^{2} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{0})}^{2}$ .

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Passaggio 6.1.4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{3 (e^{0 \cdot 2} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Moltiplica $0$ per $2$ .

$e^{\frac{3 (e^{0} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{\frac{3 (1 - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{\frac{3 (1 - 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.6

Moltiplica $- 1 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{\frac{3 (1 - 1 \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.6.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{\frac{3 (1 - 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e^{\frac{3 (1 - 2 + 4)}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.8

Sottrai $2$ da $1$ .

$e^{\frac{3 (- 1 + 4)}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.1.4.9

Somma $- 1$ e $4$ .

$e^{\frac{3 \cdot 3}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{\frac{3 \cdot 3}{1 + 8 \cdot 0}}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$e^{\frac{3 \cdot 3}{1 + 0}}$

Passaggio 6.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{3 \cdot 3}{1}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$e^{\frac{9}{1}}$

Passaggio 6.4

Dividi $9$ per $1$ .

$e^{9}$