Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Passaggio 1.3.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.5

Somma $2 e^{2 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.6

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 6

Sposta il limite nell'esponente.

$2 \frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 8

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (0)}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 \frac{e^{0}}{\sec^{2} (0)}$

Passaggio 11.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Passaggio 11.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$2 \frac{1}{1^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 11.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$