Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Passaggio 1.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Passaggio 1.3

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} e^{x} x$

Passaggio 5

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Passaggio 6

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

Passaggio 7

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\infty \cdot \infty$

Passaggio 8

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\infty$