Calcolo Esempi

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{t} + t^{2}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica per razionalizzare il numeratore.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{(\sqrt{t} + t^{2}) (\sqrt{t} - t^{2})}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Espandi il numeratore usando il metodo FOIL.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{\sqrt{t}}^{2} + \sqrt{t} (- t^{2}) + \sqrt{t} t^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Riscrivi ${\sqrt{t}}^{2}$ come $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{1}{2} \cdot 2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{1} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2.1.5

Semplifica.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - 1 \cdot t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2.3

Riscrivi $- 1 t^{4}$ come $- t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $t$ nel denominatore, che è $t^{2} = \sqrt{t^{4}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Elimina il fattore comune di $t$ e $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{1}}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.1.2

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.1.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.3.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.2

Elimina il fattore comune di $t^{4}$ e $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.2.1

Scomponi $t^{2}$ da $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2}}{1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.2.2.4

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica ciascun termine.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3

Elimina il fattore comune di $t$ e $t^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3.2

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.3.1

Scomponi $t$ da $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Con $t$ che tende a $\infty$ , la frazione $\frac{1}{t}$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Con $t$ che tende a $\infty$ , la frazione $\frac{1}{t^{3}}$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché il suo numeratore è illimitato mentre il denominatore tende a un numero costante, la frazione $\frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}$ tende a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riordina $9 t$ e $- t^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} - t^{2} + 9 t}$

Passaggio 1.3.2

Il limite che tende a infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è negativo è meno infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{t} + t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.5.3

Riordina i termini.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 t - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d t} [9 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9 t$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - \frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - (2 t)}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - 2 t}$

Passaggio 3.9

Riordina i termini.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{- 2 t + 9}$

Passaggio 4

Riscrivi $t^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

Passaggio 5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per scrivere $2 t$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t \cdot \frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

Passaggio 5.2

$2 t$ e $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t})}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t}) + 1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$