Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 10 x - 1}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Passaggio 1.2

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Passaggio 1.3

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 10 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.6

Somma $18 x + 10$ e $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{2} - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Passaggio 3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 3.9.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5}$

Passaggio 4

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Passaggio 5.1.2

Dividi $18$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $16$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 + \frac{- 5}{x}}$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 5.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $18$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 5.6

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{18 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Passaggio 7.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 \cdot 0}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $18 + 10 \cdot 0$ e $16 - 5 \cdot 0$ .

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Passaggio 9.1.1

Riscrivi $16$ come $- 1 (- 16)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - 5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)}$

Passaggio 9.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 5 \cdot 0)}$

Passaggio 9.1.4

Riordina i termini.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Passaggio 9.1.5

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 (9) + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Passaggio 9.1.6

Scomponi $2$ da $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (9) + 2 (5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Passaggio 9.1.7

Scomponi $2$ da $2 (9) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Passaggio 9.1.8

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.1.8.1

Scomponi $2$ da $- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Passaggio 9.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Passaggio 9.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 + 5 \cdot 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{9 + 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Passaggio 9.2.2

Somma $9$ e $0$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Passaggio 9.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $0$ per $5$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0)}$

Passaggio 9.3.2

Somma $- 8$ e $0$ .

$\frac{9}{- 1 \cdot - 8}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$\frac{9}{8}$