Calcolo Esempi

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 1

Dividi usando la divisione di polinomi lunga.

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$3 x$

$1$

Passaggio 1.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x^{2} + \frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 2

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 2.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.5.2

Dividi $3 x - 1$ per $1$ .

$3 x - 1 = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 2.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 x - 1 = \frac{A {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.6.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ e $x - 1$ .

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Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $x - 1$ da $(B) {(x - 1)}^{2}$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x - 1 = A + \frac{B (x - 1)}{1}$

Passaggio 2.6.2.2.4

Dividi $B (x - 1)$ per $1$ .

$3 x - 1 = A + B (x - 1)$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A + B x + B \cdot - 1$

Passaggio 2.6.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$3 x - 1 = A + B x - 1 \cdot B$

Passaggio 2.6.5

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$3 x - 1 = A + B x - B$

Passaggio 2.7

Riordina $A$ e $B x$ .

$3 x - 1 = B x + A - B$

Passaggio 3

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = B$

Passaggio 3.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 3.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 4

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $B = 3$ .

$B = 3$

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $3$ in ogni equazione.

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $- 1 = A - 1 B$ con $3$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 3$

$B = 3$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

Passaggio 4.3

Risolvi per $A$ in $- 1 = A - 3$ .

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $A - 3 = - 1$ .

$A - 3 = - 1$

$B = 3$

Passaggio 4.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 1 + 3$

$B = 3$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

Passaggio 4.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = 2 B = 3$

Passaggio 4.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 2, B = 3$

Passaggio 5

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $x^{2} + \frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$x^{2} + \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{3}{x - 1}$