Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{2} + x^{4}}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} + x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{4}}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $A (1 + x^{2})$ per $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (1 + x^{2}))$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x (1 + x^{2}))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.4.2.5

Dividi $B (x (1 + x^{2}))$ per $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x (1 + x^{2})) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{1 + 2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.7.2

Somma $1$ e $2$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{3}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.8

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.9

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.9.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.6.9.2

Dividi $(C x + D) (x^{2})$ per $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + (C x + D) (x^{2})$

Passaggio 1.6.10

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Passaggio 1.6.11

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.11.1

Sposta $x^{2}$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Passaggio 1.6.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Passaggio 1.6.11.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Passaggio 1.6.11.3

Somma $2$ e $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Riordina $B$ e $x^{3}$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Passaggio 1.7.2

Sposta $A$ .

$1 = A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + A$

Passaggio 1.7.3

Sposta $B x$ .

$1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + B x + A$

Passaggio 1.7.4

Sposta $A x^{2}$ .

$1 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + B x + A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + D$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B$

Passaggio 2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $B = 0$ .

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$1 = A$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = B + C$ con $0$ .

$0 = (0) + C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma $0$ e $C$ .

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = A + D$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + D$ con $1$ .

$0 = (1) + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $D$ in $0 = 1 + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + D = 0$ .

$1 + D = 0$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$D = - 1 C = 0 A = 1 B = 0$

Passaggio 3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$D = - 1, C = 0, A = 1, B = 0$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 x - 1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 - 1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- 1}{1 + x^{2}}$