Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 6 x - 16}{x + 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 6 x - 16$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 16] - (x^{2} - 6 x - 16) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (x^{2} - 6 x - 16) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (x^{2} - 6 x - 16) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (x^{2} - 6 x - 16) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (x^{2} - 6 x - 16) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (x^{2} - 6 x - 16) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6 + 0) - (x^{2} - 6 x - 16) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Somma $2 x - 6$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x - 16) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x - 16) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x - 16) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x - 16) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x - 16)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 2) (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.1.1

Espandi $(x + 2) (2 x - 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x - 6) + 2 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.3

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 x + 2 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 x - 12 - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.2

Somma $- 6 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - x^{2} - (- 6 x) - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - x^{2} + 6 x - - 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - x^{2} + 6 x + 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 12 + 6 x + 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Somma $- 2 x$ e $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + 16}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.4

Somma $- 12$ e $16$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 2^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Elimina il fattore comune di ${(x + 2)}^{2}$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 1$

Passaggio 2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = 0$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$